已知P（x₀，y₀）是焦距为4

2

的双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)上一点，过P的一条直线l₁与双曲线C的两条渐近线分别交于P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），且3

OP

=

OP1

+2

OP2

，过P作垂直的两条直线l₂和l₃，与y轴分别交于A，B两点，其中l₂与x轴交点的横坐标是

a2

x0

．
（1）求x₁x₂-y₁y₂的值；
（2）求S△OP1P2的最大值，并求此时双曲线C的方程；
（3）判断以AB为直径的圆是否过定点，如果是，求出所有定点；如果不是，说明理由．

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A、B，且焦距为2．点P在椭圆上且异于A、B两点，若直线PA与PB的斜率之积-

3

4

．
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）过点F（-1，0）作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M、N两点，直线m的方程为：x=-2a,过点M作ME垂直于直线m,交m于点E．求△OEN面积的最大值．

已知F₁，F₂是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点，N（不在x轴上）是椭圆C上一点，M是线段NF₁的中点，△F₁MO的周长为3，离心率为

1

2

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知P是椭圆C上一点，过P作圆：x²+y²=

12

7

的切线l,直线l与椭圆C交于另一点Q，判定OP，OQ的斜率之积是否为定值，若为定值，求出定值．

已知双曲线C：x²-

y2

2

=1的右焦点为F，过点F的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点．
（1）若直线AB的斜率为1，求线段AB的中点坐标；
（2）若点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在双曲线C的右支上，且x₁＞x₂＞0，y₁＞0，PQ∥AB，过点P且斜率为-

2

的直线与过点Q且斜率为

2

的直线交于线段AB上一点M，且|AB|=λ|MB|，求实数λ的值．

已知函数f（x）=e^x-λsinx.
（1）求最大的整数λ，使得对任意x∈（0，π），f（x）＞0；
（2）若函数g（x）=e^x+3sinx-1-ax,当1≤a＜4时，讨论函数g（x）零点的个数．
参考数据：e

π

4

≈2.193

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左顶点A（-2，0），且点(-1，

3

2

)在椭圆上，F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点．过点A作斜率为k（k＞0）的直线交椭圆E于另一点B，直线BF₂交椭圆E于点C．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若F₁C⊥AB，求k的值．

已知函数f（x）=lnx+2ax+1，g（x）=x（e^x+1）（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）若函数f（x）的最大值为0，求a的值；
（Ⅱ）若对于任意正数x,f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

已知P是圆C：（x+2）²+y²=12上一动点，定点M（2，0），线段PM的垂直平分线n与直线PC交于点T，记点T的轨迹为C′．
（1）求C′的方程；
（2）若直线l与曲线C′恰有一个共点，且l与直线l1：y=

3

3

x，l2：y=-

3

3

x分别交于A、B两点，△OAB的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

已知函数f（x）=aln（1+x）+

1

2

x2-x(a∈R)．
（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂，求证：f（x₂）＞

x1

2

．

如图，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率是

1

2

，短轴长为2

3

，椭圆的左、右顶点为A₁、A₂.过椭圆与抛物线的公共焦点F的直线l与椭圆相交于A，B两点，与抛物线E相交于P，Q两点，点M为PQ的中点．
（1）求椭圆C和抛物线E的方程；
（2）记△ABA₁的面积为S₁，△MA₂Q的面积为S₂，若S₁≥3S₂，求直线l在y轴上截距的范围．