如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，D₁，F分别是BC，B₁C₁，A₁B₁的中点，

BC

=4

BE

，AB=2．
（1）证明：B₁C₁⊥EF；
（2）若三棱柱的高为1，求二面角B-EF-C₁的正弦值．

如图在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，BB₁=4，M为BB₁的中点，∠AMC₁=120°，平面AMC₁⊥平面ACC₁A₁．
（1）求AB，BC的长度；
（2）求平面AMC₁与平面ABC所成锐二面角的余弦值．

如图，在三棱台A₁B₁C₁-ABC中，A₁B₁=2，AB=AC=4，AA1=CC1=

5

，BB₁=3，∠BAC=

π

2

．
（1）证明：平面A₁ACC₁⊥平面ABC；
（2）设D是BC的中点，求平面A₁ACC₁与平面A₁AD夹角的余弦值．

现有大小相同的8个球，其中4个不同的黑球，2个不同的红球，2个不同的黄球．
（1）将这8个球排成一列，要求黑球排在一起，2个红球相邻，2个黄球不相邻，求排法种数；
（2）从这8个球中取出4个球，要求各种颜色的球都取到，求取法种数；
（3）将这8个球分成三堆，每堆至少2个球，求分堆种数．

为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某平台开展了航天知识竞赛活动，有A和B两道题，王某答对A题的概率为0.8，答对得奖金100元；答对B题的概率为0.6，答对得奖金200元．规则规定：只有在答对第一道题的情况下，才有资格答第二道题．
（1）若王某先回答A题，求他获得300元奖金的概率；
（2）如果答题顺序由王某选择，他应该先答哪一道题？

22年卡塔尔世界杯决赛圈的参赛队有克罗地亚、荷兰、葡萄牙、英格兰、法国等13支欧洲球队以及摩洛哥、巴西、阿根廷等19支非欧洲球队．世界杯决赛圈赛程中的每场淘汰赛都要分出胜负，规则如下：在比赛常规时间90分钟内分出胜负，比赛结束，否则就进入30分钟的加时赛．在加时赛分出胜负，比赛结束，若加时赛比分依然相同，那就进行点球大战．
点球大战分为2个阶段．第一阶段：双方各派5名球员依次踢点球（未必要踢满5轮），前5轮进球数更多的球队获胜．第二阶段：…
（1）填写2×2列联表，并通过计算判断能否在犯错概率不超过0.05的前提下认为32支球队中的一支球队“在世界杯淘汰赛中进入

1

4

决赛”与“该球队为欧洲球队”有关．
（2）已知甲队球员和乙队球员每轮踢进点球的概率分别为p和

2

3

．若点球大战前2轮的比分为2：2，试在此条件下求甲队于第一阶段获得比赛胜利的概率（用p表示）．
参考公式：χ2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，n=a+b+c+d.

2022年卡塔尔世界杯淘汰赛阶段的比赛结果
淘汰赛	比赛结果	淘汰赛	比赛结果
1 8 决赛	荷兰3：1美国	1 4 决赛	克罗地亚（4）1：1（2）巴西
	阿根廷2：1澳大利亚		荷兰（3）2：2（4）阿根廷
	法国3：1波兰		摩洛哥1：0葡萄牙
	英格兰3：0塞内加尔		英格兰1：2法国
	日本（1）1：1（3）克罗地亚	半决赛	阿根廷3：0克罗地亚
	巴西4：1韩国		法国2：0摩洛哥
	摩洛哥（3）0：0（0）西班牙	季军赛	克罗地亚2：1摩洛哥
	葡萄牙6：1瑞士	决赛	阿根廷（4）3：3（2）法国 点球大战中阿根廷4：2胜法国

	欧洲球队	其他球队	合计
进 1 4 决赛
未进 1 4 决赛
合计

P（χ2≥α）	0.05
α	3.841

2022年12月18日，第二十二届世界杯足球赛决赛在中东国家卡塔尔境内举行，最终阿根廷以7：5的比分战胜法国队，赢得本届世界杯冠军．某校足球兴趣小组对该校学生是否观看过本届世界杯决赛的直播进行调查，从调查结果中随机抽取50份进行分析，得到数据如下表所示．

	观看过本届世界杯决赛直播	没有观看过本届世界杯决赛直播	总计
高三年级学生	20		26
非高三年级学生
总计			50

（1）补全2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为是否观看过本届世界杯决赛的直播与年级有关？
（2）现从抽取的观看过本届世界杯决赛的直播的人群中，按年级采用分层抽样的方法抽取6人，然后从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人都为高三年级学生的概率．
附：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，n=a+b+c+d．

P（K2≥k0）	0.05	0.01	0.001
k0	3.841	6.635	10.828

2022年1月初，某市爆发了一种新型呼吸道传染疾病，该疾病具有较强的传染性，为了尽快控制住该传染病引起的疫情，该市疫情监控机构统计了1月12日到15日每天新增病例的情况，统计数据如表：

1月x日	12	13	14	15
新增病例y人	26	29	28	31

（1）已知在1月12日新增的26人病例中有16人年龄在60岁以上，工作人员从这26人中任选2人研究病人的感染情况，若这2人中60岁以上的人数为X，试求X的分布列；
（2）疫情监控机构对题中的统计数据作线性回归分析，可以根据表格中的数据建立y关于x的线性相关关系，求y关于x的线性回归方；
（3）根据（2）中的线性回归方程，预测到哪一天新增病例人数将超过36人⋅
附：对于一组组数据，（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n），其回归方程

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

̂

b

=

n i=1 xiyi-n x y

n i=1 x 2 i -n -2 x

=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

．
参考数据：

n

i=1

(xi-

x

)(yi-

y

)=7．

某学校组织“学习党的二十大”知识竞赛，某班要从甲、乙两名同学中选出一人参赛，选拔方案如下：甲、乙两名同学各自从给定的5个问题中随机抽取3个问题作答，在这5个问题中，已知甲能正确作答其中3个，乙能正确作答每个问题的概率都是

3

5

，甲、乙两名同学作答问题相互独立．记甲答对题的个数为X，乙答对题的个数为Y．
（1）求甲、乙恰好答对2个问题的概率；
（2）若让你投票选择一名发挥较稳定的同学参赛，你会选择哪名同学？请说明理由．

为激发学生学习研究问题的积极性，某数学老师在所教的甲、乙两个实验班开展问题求解比赛．比赛分轮次进行，每轮比赛甲、乙两个实验班各派5人组成一个小组代表本班参赛，比赛规定：在规定的时间内求解同一个问题，若甲、乙两个实验班小组一个小组求解正确，另一个小组求解不正确，则求解正确的小组所在的实验班得10分，求解不正确的小组所在的实验班得-10分；若甲、乙两个实验班小组都求解正确或都不正确，则甲、乙两个实验班均得0分．根据平时两个班成绩的差异性，甲、乙两实验班的小组求解问题的正确率分别为

3

5

和

1

2

，且两个班的小组求解是否正确互不影响，一轮比赛中甲实验班的得分记为X．
（1）求X的分布列与数学期望；
（2）若一共进行了5轮比赛，求甲实验班至少有4轮不输给乙实验班的概率．