悬链线是平面曲线，是柔性链条或缆索两端固定在两根支柱顶部，中间自然下垂所形成的外形．在工程中有广泛的应用，例如悬索桥、架空电缆都用到了悬链线的原理，经过很长时间的探究，在17世纪末期，莱布尼兹和伯努利利用微积分推导出悬链线的方程是y=

c

2

(e

x

c

+e-

x

c

)，其中c为曲线顶点到横轴的距离．当c=1时，称ch(x)=

ex+e-x

2

为双曲线余弦函数．
（1）解方程ch（x）=3；
（2）双曲余弦函数的导数成为我双曲正弦函数，记作sh（x）．当x≥0时，求sh（x）-3x的最小值；
（3）已知an=

n2

2

-3ch(

n

3

)，求数列{a_n}的最大项．（参考数据：

3	e

≈1.4）

已知函数f（x）=lnx-2ax.
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若f（x）≤0恒成立，求a的取值范围；
（3）证明：2022²⁰²³＞2023²⁰²²．

已知函数f（x）=e^x-mx²（m∈R）．
（1）是否存在实数m,使得x=1为f（x）的极值点？若存在，求出实数m的值；否则，请说明理由；
（2）若n∈N，且n≥2，求证：

n

k=1

1

k

＜ln(n+1)+n(1-ln2)．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2 2

3

，直线y=

1

2

交C于A、B两点，|AB|=3

3

．
（1）求C的方程；
（2）记C的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁斜率为1的直线交C于G、H两点，求△F₂GH的周长．

已知函数f(x)=

sinx-cosx

2ex

-

x

k

，g(x)=ex-ksinx-1．
（1）若f（x）在区间(0，

π

2

)内存在极值点θ，求实数k的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求证：g（x）在区间（0，π）内存在唯一的零点φ，并比较φ与2θ的大小，说明理由．

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的三个顶点构成边长为4的等边三角形．
（1）求E的标准方程；
（2）已知直线l的倾斜角为锐角，l分别与x轴、y轴相交于点M，N，与E相交于A，B两点，且N为线段MB的中点，B关于x轴的对称点为C，直线CN与E的一个交点为D．
（i）证明：直线CD与l的斜率之比为定值；
（ii）当直线AD的倾斜角最小时，求l的方程．

已知函数f（x）=e^x+ax-e,a∈R（注：e=2.718281…是自然对数的底数）
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）只有一个极值点，求实数a的取值范围．

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

5

3

，点A（a,0）到渐近线的距离为

12

5

．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线l与双曲线C交于M，N两点，且

AM

•

AN

=0，试探究直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由．

在直角坐标平面内，已知两点F1(-2

2

，0)，F2(2

2

，0)，动点M到点F₁的距离为4

3

，线段F₂M的垂直平分线交F₁M于点N．
（1）求动点N的轨迹方程；
（2）设（1）中的动点的轨迹为C，圆O：x²+y²=3，直线l与圆O相切于第一象限的点A，与轨迹C交于P、Q两点，与x轴正半轴交于点B．若|PB|=|QA|，求直线l的方程．

已知椭圆R：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A（-2，0），B（2，0），M是椭圆R上异于A，B的一点，且直线MA与直线MB的斜率之积满足k_MA•k_MB=-

1

4

．
（1）求椭圆R的标准方程；
（2）过点（1，0）的直线交椭圆于C，D两点，且直线AC，BD交于点Q，求点Q的横坐标．