已知直线l与曲线f（x）=lnx+x²相切，则下列直线中可能与l垂直的是（　　）

已知函数f（x）=ln（x+1）-asinx,f'（x）为f（x）的导数，则下列说法正确的是（　　）

在平面直角坐标系xOy中，F₁（-1，0），F₂（1，0），点P为平面内的动点，且满足∠F₁PF₂=2θ，|PF₁|•|PF₂|cos²θ=2．
（1）求|PF₁|+|PF₂|的值，并求出点P的轨迹E的方程；
（2）过F₁作直线l与E交于A、B两点，B关于原点O的对称点为点C，直线AF₂与直线CF₁的交点为T．当直线l的斜率和直线OT的斜率的倒数之和的绝对值取得值最小值时，求直线l的方程．

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别是F₁，F₂，离心率为3，点(

3 2

4

，1)在双曲线上．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）A，B分别为双曲线的左，右顶点，若点P为直线x=

1

3

上一点，直线PA与双曲线交于另一点M，直线PB与双曲线交于另一点N，求直线MN恒经过的定点坐标．

已知椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，P(1，

3

2

)在椭圆上，离心率e=

1

2

，左、右焦点分别为F₁、F₂．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y=kx（k＞0）与椭圆C交于A，B两点，连接AF₁，BF₁并延长交椭圆C于D、E两点，连接DE，试探索直线AB与直线DE的斜率之比是否为定值，并说明理由．

已知椭圆C：

x2

4

+y2=1，P（m,0）、Q（1，0）是x轴上不重合的两点，过点Q作不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，直线AP、BP分别与直线x=1交于M、N两点．
（1）若点A的坐标为（0，1），点M的坐标为（1，2），求点N的坐标；
（2）设T为线段AB的中点，且|PT|＞|AT|，求证：x1x2+y1y2＞m(x1+x2)-m2；
（3）是否存在实数m,使得|QM|•|QN|为定值，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

已知函数f（x）=

1

2

ax2+x-(a+x)lnx(a≠0)，记f（x）的导函数为g（x）．
（1）当a＜0时，讨论f（x）的极值点的个数；
（2）若g（x）有三个零点x₁，x₂，x₃，且x₁＜x₂＜x₃，证明：x₁+x₂+x₃＞

2

a

-1．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦距为2

3

，且过点(

3

，

1

2

)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两点（异于椭圆顶点），点P为线段MN的中点，O为坐标原点．
①若点P在直线x=

1

2

上，求证：线段MN的垂直平分线恒过定点S，并求出点S的坐标；
②求证：当△OMN的面积最大时，直线OM与ON的斜率之积为定值．

已知f（x）=2x³-mx²-12x+n 在点（1，f（1））处的切线方程为y=-12x+5．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）=f（x）-a有三个零点，求实数a的取值范围．

已知椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1，F₁、F₂分别是它的左、右焦点．
（1）求椭圆C的长轴长以及离心率；
（2）过点F₂的直线l与椭圆C相交于P、Q两点，O为坐标原点，若直线l的斜率为k且

OP

⊥

OQ

，求直线l的方程．