帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m,n,函数f（x）在x=0处的[m,n]阶帕德近似定义为：R(x)=

a0+a1x+⋯+amxm

1+b1x+⋯+bnxn

，且满足：f（0）=R（0），f'（0）=R'（0），f″（0）=R″（0）…，f^（m+n）（0）=R^（m+n）（0）．已知f（x）=ln（x+1）在x=0处的[1，1]阶帕德近似为R(x)=

ax

1+bx

．
注：f″（x）=[f'（x）]′，f″'（x）=[f″（x）]′，f^（4）（x）=[f″'（x）]′，f^（5）（x）=[f^（4）（x）]′，…
（1）求实数a,b的值；
（2）求证：(x+b)f(

1

x

)＞1；
（3）求不等式(1+

1

x

)x＜e＜(1+

1

x

)x+

1

2

的解集，其中e=2.71828⋯．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点F₁与圆x²+y²+2

3

x=0的圆心重合，过右焦点F₂的直线与C交于A，B两点，△ABF₁的周长为8．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若C上存在M，N两点关于直线l：2kx-2y+3=0对称，且OM⊥ON（O为坐标原点），求k的值．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

4

，左、右焦点分别为F₁，F₂，短轴长为2

7

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）P为第一象限内椭圆C上一点，直线PF₁，PF₂与直线x=5分别交于A，B两点，记△PAB和△PF₁F₂的面积分别为S₁，S₂，若

S1

S2

=

9

13

，求|AB|．

已知椭圆C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，椭圆C2：

x2

4

+y2=1．点P为椭圆C₂上的动点，直线OP与椭圆C₁交于A，B两点，且

OA

=2

OP

．
（1）求椭圆C₁的标准方程；
（2）以点P为切点作椭圆C₂的切线l,l与椭圆C₁交于C，D两点，问：四边形ACBD的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，求出面积的取值范围．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），左顶点为A，上顶点为B，且|AB|=

7

，过右焦点F作直线l,当直线l过点B时，斜率为-

3

．
（1）求C的方程；
（2）若l交C于P，Q两点，在l上存在一点M，且

QM

=

FP

，则在平面内是否存在两个定点，使得点M到这两个定点的距离之和为定值？若存在，求出这两个定点及定值；若不存在，请说明理由．

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁表面积为S，体积为V，从该正方体中切割出一个四面体C₁-A₁BD，其表面积S₁，体积为V₁，则

S1

S

=__________，

V1

V

=__________．

宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是3：4，则该汝窑双耳罐的侧面积是 __________平方厘米．

已知三棱锥A-BCD内接于球O，点M，N分别为AB，CD的中点，且MN⊥AB，MN⊥CD．若AB=2CD=2MN=12，则球O的体积为 __________．

某数学兴趣小组的学生开展数学活动，将图①所示的三块直角三角板OAP，O₁B₁C₁，O₂B₂C₂进行拼接、旋转等变化，进而研究体积与角的问题，其中OA=O₁B₁=O₂B₂=3，OP=5，直角三角板O₁B₁C₁与O₂B₂C₂始终全等（假设直角三角板O₁B₁C₁与O₂B₂C₂的另两边的大小可变化）．现将直角三角板O₁B₁C₁与O₂B₂C₂放在平面α内拼接，直角三角板OAP的直角边OA也放在平面α内，并使OA与O₁B₁重合，将直角三角板OAP绕着OA旋转，使点P在平面α内的射影始终与点C₁，C₂重合于点D，如图②，则当四棱锥P-OADB₂的体积最大时，直角三角板O₁B₁C₁的内角∠B₁O₁C₁的余弦值为 __________．

一个钢筋混凝土预制件可看成一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体，其尺寸如图所示（单位：米），浇制一个这样的预制件需要 __________立方米混凝土（钢筋体积略去不计）．