已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过A（2，0），B（4，3）两点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知点P（2，1），设过点P的直线l交C于M，N两点，直线AM，AN分别与y轴交于点G，H，当|GH|=6时，求直线l的斜率．

已知函数f（x）=xe^x+1．
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）比较f（-3），f（-2），f（0）的大小，并画出f（x）的大致图象；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=m有实数解，直接写出实数m的取值范围．

已知函数f（x）=e^x-xln（x+a）-ae²x（x≥0，a≥1），f（x）的导函数为g（x）．
（1）若g（x）存在极值点，求a的取值范围；
（2）设f（x）的最小值为m,g（x）的最小值为n,证明：m＜n.

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，点D在C上，|DF₁|=

3

2

，|DF₂|=

5

2

，|DF₂|＞|F₁F₂|，且△DF₁F₂的面积为

3

2

．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）设C的左顶点为A，直线l：x=-6与x轴交于点P，过P作直线交C于G，H两点直线AG，AH分别与l交于M，N两点，O为坐标原点，证明：O，A，N，M四点共圆．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，P是椭圆C上异于左、右顶点的动点，

PF1

⋅

PF2

的最小值为2，且椭圆C的离心率为

1

2

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l过F₂与椭圆C相交于A，B两点，A，B两点异于左、右顶点，直线l₁过F₁交椭圆C于M，N两点，l⊥l₁，求四边形AMBN面积的最小值．

已知定点F（2，0），关于原点O对称的动点P，Q到定直线l：x=4的距离分别为d_p，d_Q，d_Q，且

|PF|

dp

=

|QF|

dQ

，记P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程，并说明曲线C是什么曲线？
（2）已知点M，N是直线m：x=

1

k

y+2与曲线C的两个交点，M，N在x轴上的射影分别为M₁，N₁，N₁（M₁，N₁，N₁不同于原点O），且直线M₁N与直线l：x=4相交于点R，求△RMN与△RM₁N₁面积的比值．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点为F(

2

，0)，短轴长等于焦距．
（1）求C的方程；
（2）过F的直线交C于P，Q，交直线x=2

2

于点N，记OP，OQ，ON的斜率分别为k₁，k₂，k₃，若（k₁+k₂）k₃=1，求|OP|²+|OQ|²的值．

已知函数f（x）=（x-2）e^x+ax+2，a∈R．
（1）当x∈[0，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；
（2）求证：对一切的n∈N^*，ln

n+1

＞

1

3

+

1

5

+⋯+

1

2n+1

．

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，其左、右顶点分别为A，B，左右焦点为F₁，F₂，点P为椭圆上异于A，B的动点，且△PF₁F₂的面积最大值为

3

．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过定点T（-1，0）的直线交椭圆E于M，N两点（与A，B不重合），证明：直线AM与直线BN的交点的横坐标为定值．

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左顶点为A（-1，0），渐近线方程为y=±

2

x．直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为-2．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若在射线AQ上的点R满足∠APQ=∠ARP，求直线PR的斜率的最大值．