已知圆锥曲线E上有两个定点M(

2

，1)、N(-

2

，-1)，P为曲线E上不同于M，N的动点，且当直线PM和直线PN的斜率k_PM，k_PN都存在时，有kPM•kPN=-

1

2

．
（1）求圆锥曲线E的标准方程；
（2）若直线l：x=my+

2

与圆锥曲线E交于A、B两点，交x轴于点F，点A，F，B在直线l′：x=2

2

上的射影依次为点D，K，G
①若直线l交y轴于点T，且

TA

=λ1

AF

，

TB

=λ2

BF

，当m变化时，探究λ₁+λ₂的值是否为定值？若是，求出λ₁+λ₂的值；否则，说明理由；
②连接AG，BD，试探究当m变化时，直线AG与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．

已知函数f（x）=x³-2x²-4x+2．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）求f（x）在[-1，3]上的最值．

已知函数f（x）=e^x-x.
（1）求f（x）的极值；
（2）若f(x)≥

x2

6

+a恒成立，求a的取值范围．

已知函数f(x)=

1+2lnx

x2

．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若方程f（x）=k的两个实根分别为x₁，x₂（其中x₁＜x₂），求证：x1+x2＞2＞

1

x1

+

1

x2

．

已知函数f（x）=ax-

a

x

-lnx,a∈R．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（3）证明：

n

i=2

(

1

i2lni

)＞

(n+2)(n-1)

2n(n+1)

（n∈N*且n≥2）．

已知函数f（x）=（x+a）lnx（a≤1），g（x）=x²e^-x，且曲线y=f（x）在点（x,f（x））处的切线斜率均不小于2．
（1）求证：函数h（x）=f（x）-g（x）在区间（1，2）内存在唯一的零点；
（2）当x＞0时，设函数m（x）为f（x）与g（x）中的较小者，求使m（x）≤k恒成立的k的最小整数值．

已知函数f（x）=e^x+x-1，g（x）=

1

2

x2+ax-

1

2

，其中a＞0，e是自然对数的底数．
（1）若f（x）≥g（x）在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设h（x）=

lnx

x

，在（1）的条件下，讨论关于x的方程h（f（x））=h（g（x））在（0，+∞）上解的个数．

已知函数f（x）=x²-cosx.
（1）求f（x）的零点个数；
（2）当x∈[0，

π

2

]时，e^x≥bf（x）恒成立，求b的取值范围．

已知点（1，2）在双曲线E：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线上，点A（-3，2）在E上，直线l交E于B，C两点，直线AB与直线AC的斜率之和为0．
（1）求直线l的斜率；
（2）若M为双曲线E上任意一点，过点M作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于点P，Q，求△MPQ的面积．

如图，F₁（-c,0）、F₂（c,0）为双曲线C1：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，抛物线C₂的顶点为坐标原点，焦点为F₂，设C₁与C₂在第一象限的交点为P（m,n），且|PF₁|=7，|PF₂|=5，∠PF₂F₁为钝角．
（1）求双曲线C₁与抛物线C₂的方程；
（2）过F₂作不垂直于x轴的直线l,依次交C₁的右支、C₂于A、B、C、D四点，设M为AD中点，N为BC中点，试探究

|AD|•|NF2|

|BC|•|MF2|

是否为定值．若是，求此定值；若不是，请说明理由．