如图，AD∥BC且AD=2BC，AD⊥CD，EG∥AD，AD⊥CD，EG∥AD且EG=AD，CD∥FG且CD=2FG．DG⊥．DG⊥平面ABCD，DA=DC=DG=2，DA=DC=DG=2．
（1）求平面EBC与平面BCF的夹角的正弦值；
（2）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长．

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，BC=CD=2AB=2，E为PC中点．
（1）在棱PD上是否存在点Q，使得AQ∥平面EBD？说明理由；
（2）若PC⊥平面PAD，PC=PD，求平面PAD与平面EAB所成角的余弦值．

如图，圆台下底面圆O的直径为AB，C是圆O上异于A，B的点，且∠BAC=30°，MN为上底面圆O′的一条直径，△MAC是边长为6的等边三角形，MB=4

3

．
（1）证明：平面MBC⊥平面MAC；
（2）求平面MBC和平面NAB夹角的余弦值．

中国茶文化源远流长，历久弥新，生生不息，某学校高中一年级某社团为了解人们喝茶习惯，利用课余时间随机对400个人进行了调查了解，得到如下列联表：

	不经常喝茶	经常喝茶	合计
男	50	200	250
女	50	100	150
合计	100	300	400

（1）通过计算判断，有没有99%的把握认为是否“经常喝茶”与性别有关系？
（2）中国茶叶种类繁多，按照茶的色泽与加工方法，通常可分为红茶、绿茶、青茶、黄茶、黑茶、白茶六大茶类，每个茶类包括较多品种，现分别在绿茶与青茶中各选取了2个品种茶，甲在仅知道其所属茶类的情况下，品茶并识别茶叶具体品种，已知甲准确说出绿茶各品种的概率为

2

3

，准确说出青茶各品种的概率为

1

2

，品鉴每个品种的结果互不影响．记“甲准确说出茶叶品种数”为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
附表及公式：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

其中K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，n=a+b+c+d.

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是边长为2的正三角形，顶点A₁在底面ABC的投影为AB的中点O，已知AA₁与底面ABC内所有直线所成角中的最小值为

π

4

，M为棱A₁C₁上一点．
（1）求三棱锥A₁-ABC₁的体积；
（2）若A₁C₁=3A₁M，求二面角A-BM-C大小的正弦值．

如图所示，六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面四边形ABCD是正方形，AA₁∥BB₁∥CC₁∥DD₁，且BB₁⊥平面ABCD，AA1=CC1，

AE

=

1

2

AA1

，

CF

=

1

2

CC1

，

DD1

=2

BB1

，平面BEF与平面ABCD的交线为l.
（1）求证：直线l⊥平面B₁BDD₁；
（2）已知EF=2，AA₁=3，BB₁=2，若D₁F与平面B₁BDD₁所成角为θ，求sinθ的值．

甲，乙，丙三个厂家生产的手机充电器在某地市场上的占有率分别为25%，35%，40%，其充电器的合格率分别为70%，75%，80%．
（1）当地工商质检部门随机抽取3个手机充电器，其中由甲厂生产的手机充电器数目记为X，求X的概率分布列，期望和方差；
（2）现从三个厂家生产的手机充电器中随机抽取1个，发现它是不合格品，求它是由甲厂生产的概率．

数轴上的一个质点Q从原点出发，每次随机向左或向右移动1个单位长度，其中向左移动的概率为

1

3

，向右移动的概率为

2

3

，记点Q移动n次后所在的位置对应的实数为X_n．
（1）求X₃和X₄的分布列和期望；
（2）当n=10时，点Q在哪一个位置的可能性最大，并说明理由．

如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAB⊥平面PBC，AB=AP=2．
（1）求证：BC⊥AP；
（2）若四棱锥P-ABCD的体积为

4 3

3

，求二面角B-PD-C的正弦值．

已知过曲线C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a,b＞0)上一点（x₀，y₀）作椭圆C的切线l,则切线l的方程为

x0x

a2

+

y0y

b2

=1．若P为椭圆C₁：

x2

2

+y2=1上的动点，过P作C₁的切线l₀交圆C₂：x²+y²=4于M，N，过M，N分别作C₂的切线l₁，l₂，直线l₁，l₂交于点Q．
（1）求动点Q的轨迹E的方程；
（2）已知R为定直线x=4上一动点，过R的动直线m与轨迹E交于两个不同点A、B，在线段AB
上取一点T，满足|AR||TB|=|AT||RB|，试证明动点T的轨迹过定点．