已知在二项式(

2

x+a)5的展开式中，含x²的项为20x²．
（1）求实数a的值；
（2）求展开式中系数为有理数的项．

“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心．据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，关注生态文明建设的约占80%．现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65]，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）求a的值；
（2）现在要从年龄在第1，2组的人员中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求抽取的3人中至少1人的年龄在第1组中的概率；
（3）用频率估计概率，从所有参与生态文明建设关注调查的人员（假设人数很多，各人是否关注生态文明建设互不影响）中任意选出3人，设这3人中关注生态文明建设的人数为X．求随机变量X的分布列及期望．

随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高．某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意调查．现从消费者人群中随机抽取500人作为样本，得到下表（单位：人）

	老年人		中年人		青年人
	酸奶	鲜奶	酸奶	鲜奶	酸奶	鲜奶
满意	100	120	120	100	150	120
不满意	50	30	30	50	50	80

（1）从样本中任意取1人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率；
（2）从该地区青年人中随机选取3人，以频率估计概率，记这3人中对酸奶满意的人数为X，求X的分布列与期望；
（3）依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？（直接写出结果）
注：本题中的满意度是指消费群体中满意的人数与该消费群体总人数的比值．

如图，A₁M为圆柱O₁O₂的一条母线，且O₁O₂=2O₁A₁．过点A₁且不与圆柱底面平行的平面α与平面O₁A₁MO₂垂直，轴O₁O₂与α交于点O，平面α截圆柱的侧面得到一条闭合截线，截线与平面O₁A₁MO₂的另一交点为A₂．已知该截线为一椭圆，且A₁A₂和B₁B₂分别为其长轴和短轴，O为其中心．N为B₂在上底面内的射影．记椭圆的离心率为e.
（1）证明：B₁B₂⊥O₁O₂，并求e的取值范围；
（2）当e=

5

5

时，求直线MN与平面α所成的角的正弦值．

清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，是传统的重大春祭节日，扫墓祭祀、缅怀祖先是中华民族自古以来的优良传统．某社区进行流动人口统计，得知近5年回老家2次及以上的人数占比约为90%，现在随机抽取了100人，了解他们今年是否回老家祭祖，得到如下不完整的2×2列联表：

	回老家	不回老家	总计
50周岁及以下		55
50周岁以上	15		40
总计			100

（1）根据统计完成以上2×2列联表，依据小概率值α=0.001的独立性检验，并根据表中数据分析，是否有把握认为回老家祭祖与年龄有关？
（2）从社区流动人口中随机抽取3人，设其中近5年回老家2次及以上的人数为X，求X的分布列和数学期望．
参考公式：χ2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.
参考数据：

α	0.100	0.050	0.010	0.001
x0	2.706	3.841	6.635	10.828

某公司为了让职工业余时间加强体育锻炼，修建了一个运动俱乐部，公司随机抽查了200名职工在修建运动俱乐部前后每天运动的时间，得到以下频数分布表：
表一（运动俱乐部修建前）

时间（分钟）	[0，20]	（20，40]	（40，60]	（60，80]
人数	36	58	81	25

表二（运动俱乐部修建后）

时间（分钟）	[0，20]	（20，40]	（40，60]	（60，80]
人数	18	63	83	36

（1）分别求出修建运动俱乐部前和修建运动俱乐部后职工每天运动的平均时间（同一时间段的数据取该组区间的中点值作代表）；
（2）运动俱乐部内有一套与室温调节有关的设备，内有2个完全一样的用电器A，只有这2个用电器A都正常工作时，整套设备才正常工作，且2个用电器A是否正常工作互不影响．用电器A有M，N两种品牌，M品牌的销售单价为1000元，正常工作寿命为11个月或12个月（概率均为0.5）；N品牌的销售单价为400元，正常工作寿命为5个月或6个月（概率均为0.5）．现有两种购置方案：
方案1：购置2个M品牌用电器；
方案2：购置1个M品牌用电器和2个N品牌用电器（其中1个N品牌用电器不能正常工作时则使用另一个N品牌用电器）．
试求两种方案各自设备性价比（设备正常运行时间与购置用电器A的成本比）的分布列，并从性价比的数学期望角度考虑，选择哪种方案更实惠？

为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某校需要了解学生是否经常锻炼与性别因素有关，为此随机对该校100名学生进行问卷调查，得到如下2×2列联表．

	经常锻炼	不经常锻炼	总计
男	35	_____	_____
女	_____	25	_____
总计	_____	_____	100

已知从这100名学生中任选1人，女生被选中的概率为

2

5

．
（1）完成如表的2×2列联表，并根据2×2列联表中的数据，判断能否有95%的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别因素有关．
（2）若按分层抽样法从女生中抽取8人，再从8人中随机抽取2人进行访谈，求抽取的2人都不经常锻炼的概率．
附：χ2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中，n=a+b+c+d.

α=P（χ2≥k0）	0.1	0.05	0.01	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.828

新能源汽车是中国战略新兴产业之一，政府高度重视新能源产业的发展，某企业为了提高新能源汽车品控水平，需要监控某种型号的汽车零件的生产流水线的生产过程，现从该企业生产的该零件中随机抽取100件，测得该零件的质量差（这里指质量与生产标准的差的绝对值）的样本数据统计如表．

质量差（单位：mg）	56	67	70	78	86
件数（单位：件）	10	20	48	19	3

（1）求样本平均数

x

的值；根据大量的产品检测数据，得到该零件的质量差（这里指质量与生产标准的差的绝对值）X近似服从正态分布N（μ，σ²），其中σ²的近似值为36，用样本平均数

x

作为μ的近似值，求概率P（64＜X＜82））的值；
（2）若该企业有两条生产该零件的生产线，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的生产效率的两倍．若第1条生产线出现废品的概率约为0.015，第2条生产线出现废品的概率约为0.018，将这两条生产线生产出来的零件混放在一起，这两条生产线是否出现废品相互独立．现从该企业生产的该零件中随机抽取一件．
（i）求该零件为废品的概率；
（ii）若在抽取中发现废品，求该废品来自第1条生产线的概率．
参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ²），则：P（μ-σ＜ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ-3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．

某超市每天以4元/千克购进某种有机蔬菜，然后以7元/千克出售．若每天下午6点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以2元/千克出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货．该超市整理了过去两个月（按60天计算）每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下统计数据．（注：视频率为概率，s,t∈N^*）．

每天下午6点前的销售量/千克	250	300	350	400	450
天数	10	10	s	t	5

（1）求1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率；
（2）在接下来的2天中，设X为下午6点前的销售量不少于350千克的天数，求X的分布列和数学期望；
（3）若该超市以当天的利润期望值为决策依据，当购进350千克的期望值比购进400千克的期望值大时，求s的最小值．

如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE⊥AD于E，且DE=2BC=2BE，将梯形ABCD沿BE折叠成如图2所示的几何体，∠AED=60°，F为直线AD上一点，且CF⊥AD于F，G为线段ED的中点，连接FG，CG．

（1）证明：AD⊥FG；
（2）如图1中，AD=6，求当四棱锥A-BCDE的体积最大时，平面ABC与平面CFG所成锐角的正弦值．