在棱长为3的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为棱AA₁上一点，且|AP|=1，则正方体表面到P点距离为

5

的点的轨迹总长度为 __________．

如图，已知△ABC水平放置的直观图（斜二测画法）为△A'B'C'，其中O'A'=O'B'=O'C'=1，则该三角形的面积为 __________．

已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2，则正四棱台的高为 __________．

已知圆锥底面圆的直径为2，高为

3

，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为 __________．

在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，AA₁=4，M，N在棱BB₁，DD₁上，且B₁M=2，D₁N=1，过A₁MN的平面交CC₁于G，则截面A₁MGN的面积为 __________；若线段A₁G上存在一点P，使得AP⊥A₁G，则

PG

A1G

=__________．

如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC的直观图，其中O'A'=

3

，则三角形A'B'C'的面积为 __________．

如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点E是△ABC内（包括边界）的动点，则下列结论中正确的序号是 __________（填所有正确结论的序号）
①若

AE

=λ

AC

，λ∈（0，1），则D₁E∥平面A₁BC₁；
②若平面α与正方体各个面都相交，且B₁D⊥α，则截面多边形的周长一定为6

2

；
③若∠AEB的角平分线交AB于点F，且AF=2FB，则动点E的轨迹长为

4π

9

；
④直线D₁E与平面ABCD所成的角的余弦值的最大值为

3

3

．

某圆锥的母线长为10cm,当其体积最大时，圆锥的高为 __________cm.

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等边三角形，∠B₁BC=∠A₁AC=60°，AB=CC₁．
（1）证明：A₁B⊥平面AB₁C；
（2）求A₁B与平面ACC₁A₁所成的角的正弦值．

如图1所示，在四边形ABCD中，BC⊥CD，E为BC上一点，AE=BE=AD=2CD=2，CE=

3

，将四边形AECD沿AE折起，使得BC=

3

，得到如图2所示的四棱锥．

（1）若平面BCD∩平面ABE=l,证明：CD∥l；
（2）点F是棱BE上一动点，且直线BD与平面ADF所成角的正弦值为

22

11

，求

EF

EB

．