甲、乙运动员进行网球比赛，每场比赛采用5盘3胜制（即有一运动员先胜3局即获胜，比赛结束），甲每盘赢乙的概率为

1

3

，两人比赛中没有平局．
（1）求甲以3：1赢球的概率；
（2）为了激发两位运动员的积极性，规定：每赢1盘胜方将获得1000元的奖金，每盘的输方没有奖金；若连赢2盘，则这两盘中的每盘将增加300元的奖金；若连赢3盘，则这3盘中的每盘将增加600元的奖金．已知本场比赛第1盘乙获胜，第2盘甲获胜，记甲在本场比赛中获得的奖金总额为X元，求X的分布列与数学期望．

甲流和普通感冒都属于上呼吸道感染，而甲流是流行性感冒中致病力最强的一种流感，在医学检测中发现末接种过流感疫苗者感染该病毒的比例较大．某医院选取200个有感冒症状的就诊患者作为样本，统计了感染甲流病毒的情况，得到下面的列联表：

接种流感疫苗与否/人数	感染甲流病毒	未感染甲流病毒
未接种流感疫苗	30	70
接种流感疫苗	10	90

（1）根据小概率值α=0.001的独立性检验，判断感染甲流病毒与接种流感疫苗是否有关？
（2）以样本中感染甲流病毒的频率估计概率，现从该医院所有感冒症状就诊者中随机抽取3人进行感染甲流病毒人数统计，求至多有1人感染甲流病毒的概率；
（3）该医院某病房住有3位甲流密切接触的病人，医院要对该病房的人员逐一进行甲流病毒检测，若检测结果出现阳性，则该病房人员全部隔离，假设该病房每位病人检测结果呈阳性的概率均为p（0＜p＜1）且相互独立，记该病房至少检测了2位病人才确定需要隔离的概率为f（p），求当p为何值时，f（p）最大？
附：χ²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（χ2≥k）	0.10	0.05	0.01	0.001
k	2.706	3.841	6.635	10.828

已知，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2，AC=1，延长CB至D，使CB=BD．
（1）求证：CA⊥DA₁；
（2）求平面B₁AD与平面ADC所成锐二面角的余弦值．

本市某区对全区高中生的身高（单位：厘米）进行统计，得到如下的频率分布直方图．
（1）若数据分布均匀，记随机变量X为各区间中点所代表的身高，写出X的分布及期望；
（2）已知本市身高在区间[180，210]的市民人数约占全市总人数的10%，且全市高中生约占全市总人数的1.2%，现在要以该区本次统计数据估算全市高中生身高情况，从本市市民中任取1人，若此人的身高位于区间[180，210]，试估计此人是高中生的概率．

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁如图所示，其中∠CAB=45°，CA=AA₁=

2

2

AB，点D在线段B₁C上（不含端点位置）．
（1）若B₁D=2CD=2

2

，求点A₁到平面ABD的距离；
（2）若平面ABD与平面ABC夹角的余弦值为

1

3

，求直线A₁D与平面ABD所成角的正弦值．

第22届国际足联世界杯于2022年11月20日至12月18日在卡塔尔境内举行，并引起了一股风靡全球的足球热，为合理开展足球课程，（公众号浙江省高中数学）某中学随机抽取了60名男生和40名女生进行调查，结果如下：回答“不喜欢”的人数占总人数的

2

5

，在回答“喜欢”的人中，女生人数是男生人数的

1

3

．
（1）请根据以上数据填写下面的2×2列联表，并据此判断是否有999%的把握认为学生对足球的喜爱情况与性别有关？

性别	对足球的喜爱情况		合计
	喜爱	不喜欢
女生
男生
合计

（Ⅱ）将上述调查的男、女生各自喜欢足球的比例视为概率．现对该校中的某班学生进行调查，发现该班学生喜欢足球的人数占班级总人数的

33

56

，试估计该班女生所占的比例
附：χ²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.

P（χ2≥x0）	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
x0	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

在△ABC中，∠A，∠B，∠C对应的边分别为a,b,c,且A，B＜

π

2

．且2sinC+cos2A+cos2B=2．
（1）求C；
（2）若a=b=2，BC上有一动点P，将△ABP沿AP折起使BP与CP夹角为

π

4

，求AB与平面ACP所成角正弦值的范围．

如图，三棱锥S-ABC的体积为

4

3

，E为AC中点，且△SEB的面积为

2

，AB=BC，∠ABC=90°，AC⊥SB．
（1）求顶点S到底面ABC的距离；
（2）若∠SAB=∠SCB=90°，求平面SAC与平面SBC夹角的余弦值．

如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，PD=AD=2，E，F分别是PA，PD的中点，过E，F作平面α交线段PB，PC分别于点G，H，且

PG

=t•

PB

．
（1）求证：GH∥BC；
（2）若PD⊥平面ABCD，且二面角A-PD-C为120°，二面角E-FG-P的正切值为

39

3

，求t的值．

新冠病毒引发的肺炎疫情在全球发生，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效防控措施，某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理得到如图所示的频率分布直方图．潜伏期不高于6天的患者，称“短潜伏者”，潜伏期高于6天的患者，称“长潜伏者”．
（1）求这500名患者中“长潜伏者”的人数，并估计样本的80%分位数（精确到0.1）；
（2）研究发现，有5种药物对新冠病毒有一定的抑制作用，其中有2种特别有效，现在要通过逐一试验直到把这2种特别有效的药物找出来为止，每一次试验花费的费用是500元，设所需要的试验费用为X，求X的分布列与数学期望．