已知函数f（x）=（x+1）lnx+m（x-1）．
（1）若m=1，求f（x）的单调区间；
（2）当m＜-2时，证明：f（x）在（0，1），（1，+∞）上各有一个零点，且这两个零点互为倒数．

已知函数f(x)=a

x-1

+b

lnx

(a∈R，b∈R)，g(x)=

x

e

x

2

．
（1）若a=1，证明：当b≥-1时，f（x）为增函数；
（2）若f（x）=g（x）有解，求a²+b²的最小值．

已知过右焦点F（3，0）的直线交双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a,b＞0)于M，N两点，曲线C的左右顶点分别为A₁，A₂，虚轴长与实轴长的比值为

5

2

．
（1）求曲线C的方程；
（2）如图，点M关于原点O的对称点为点P，直线A₁P与直线A₂N交于点S，直线OS与直线MN交于点T，求T的轨迹方程．

已知函数f(x)=

1

ax

+lnx，g(x)=

x

eax

+

1

2

-lna（e为自然对数的底数）．
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）a＞0时，若函数y=f（x）与y=g（x）的图象有且仅有一个公共点．
（i）求实数a的集合；
（ii）设经过点（b,c）有且仅有3条直线与函数y=f（x）的图象相切，求证：当b＞e时，

1

2

(1-

b

e

)+c＜f(b)＜c．

已知函数f(x)=

1

3

x3-

1

2

(6+a)x2+(8+6a)x-8alnx-4a，其中a∈R．
（1）若a=2，求f（x）的单调区间；
（2）已知f（2）=f（4），解关于x的不等式f（x）≤8．（参考数据：

2

3

＜ln2＜

17

24

）

已知函数f（x）=alnx-bx,（a,b∈R）．
（1）当b=1时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a=1时，函数f（x）≤-1，且不等式f（x）≤xe^x-（m+1）x-1恒成立，求实数m的取值范围．

已知函数f(x)=alnx+

1

2

x2-(a+1)x+

3

2

(a≠0)．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当a=1时，若f（x₁）+f（x₂）=0，求证：x₁+x₂≥2；
（3）求证：对于任意n∈N^*都有2ln(n+1)+

n

i=1

(

i-1

i

)2＞n．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点(-1，

6

3

)，(

2

，-

3

3

)．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若斜率为-

2

2

的直线l与椭圆C交于A，B两点，且

AD

=

DB

，|

OD

|=|

AD

|，求直线l的方程．

已知函数f（x）=x³-3x.
（1）求f′（0）的值；
（2）求f（x）在区间[-3，

3

2

]上的最值；
（3）若g（x）=f（x）+（a-1）x³，求g（x）的单调区间．

已知焦点在y轴上的椭圆E的焦距为2，左、右端点分别为A，B，点P是椭圆E上不同于A，B的一点，且满足kPA•kPB=-

4

3

．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过椭圆E的上焦点作两条互相垂直的直线l₁，l₂，l₁，l₂分别与椭圆E交于点M，N和点P，Q，S，T分别为MN，PQ的中点，问直线ST是否过定点？如果过定点，求出该定点、如果不过定点，请说明理由．