已知函数f（x）=ax+blnx+1，且点(

1

2

，f(

1

2

))处的切线为y=x-ln2．
（1）求a、b的值，并证明：当x＞0时，

1

x+1

＜ln

x+1

x

＜

1

x

成立．
（2）已知x∈n∈N，n≥2，求证：(1+

1

23

)(1+

1

33

)…(1+

1

n3

)＜

4	e

．

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1的左，右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与椭圆C交于M，N两点，直线AM，BN交于点P．
（1）记△AFM，△BFN的面积分别为S₁，S₂，若S₁=3S₂，求点P的坐标；
（2）设点G(1，-

3

2

)，若点M在直线FG的左侧，记直线MG与直线m：x=4交于点Q，求证：直线FQ平分∠GFN．

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）过(3，4

2

)和(

2

，2)两点，点A为C的右顶点．
（1）求C的方程；
（2）过点P(

5

，0)作斜率不为0的直线l与C交于点M，N，直线x=

5

分别交直线AM，AN于E，F．试探究以EF为直径的圆是否经过定点，若过定点，请求出所有定点坐标；若不过定点，请说明理由．

已知函数f(x)=exlnx,g(x)=(m+x)ex-

x

2

．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若方程f（x）=g（x）的两个解分别为x₁，x₂，求证：x₁x₂＜1．

已知双曲线C：

x2

4

-y2=1，点A是双曲线C的左顶点，点P坐标为（4，0）．
（1）过点P作C的两条渐近线的平行线分别交双曲线C于R，S两点．求直线RS的方程；
（2）过点P作直线l与椭圆

x2

4

+y2=1交于点D，E，直线AD，AE与双曲线C的另一个交点分别是点M，N．试问：直线MN是否过定点，若是，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．

已知点F₁，F₂是双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P是C右支上一点，△F₁F₂P的周长为18，I为△F₁F₂P的内心，且满足S△PF2I：S△F1F2I：S△PF1I=2：3：4．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过F₂的直线l与双曲线的右支交于M，N两点，与y轴交于点Q，满足

QM

=m

MF2

，

QN

=n

NF2

（其中m＞0），求

|MF2|

|NF2|

的取值范围．

求下列函数的导数：
（1）f（x）=e^x+lnx+sinx；
（2）f（x）=

cosx

ex

．

已知函数f（x）=e^x-ex,e=2.71828⋯．
（1）求f（x）的极值；
（2）求证：ex-1+4xlnx≥2x2-

1

x

．

已知函数f（x）=lnx+ax+1．
（1）当a=-1时，求f（x）的最大值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤xe^x成立，求实数a的取值范围．

已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）与抛物线C₂：y²=4ax的图象在第一象限交于点P．若椭圆的右顶点为B，且|PB|=

6

5

a.
（1）求椭圆C₁的离心率；
（2）若椭圆C₁的焦距为2，直线l过点B且不与坐标轴垂直．设l与椭圆C₁相交于不同于B的另一点D，l与抛物线C₂相交于不同于的两点M、N，且|

BD

|²=λ|

MN

|•|

OB

|，求实数λ的取值范围．