已知P是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1上一个动点，F是椭圆的左焦点，若|PF|的最大值和最小值分别为3+

5

和3-

5

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）M（0，m）是y轴正半轴上的一点，求|PM|的最大值．

设函数f（x）=x³-6x+5，x∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若函数y=f（x）的图象与函数y=a的图象恰有三个不同的交点，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=x-

1

x

，x∈（0，+∞）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线方程为y=2x+m,求x₀，m的值；
（Ⅱ）设函数g（x）=1+xlnx,证明：g（x）的图象在f（x）的图象的上方．

已知函数f（x）=x³+3ax²+3bx+a²在x=-1处有极值0．
（1）讨论函数f（x）在（-∞，-1）上的单调性；
（2）记g（x）=f（x）-k+1，若函数g（x）有三个零点，求实数k的取值范围．

已知函数f(x)=aex-x+

1

2

x2（a∈R，e为自然对数的底数）在x=0处的切线与x轴平行．
（1）求f（x）在x=0处的切线方程；
（2）若F(x)=f(x)-(

1

2

x2+m)有两个零点，求m的取值范围．

已知函数f（x）=axlnx-x²（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[1，e]上单调递增，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=ax和g（x）=e^x+1+x+b,a,b∈R．
（1）若直线y=f（x）与曲线y=g（x）在（-1，g（-1））处相切，求实数a,b的值；
（2）若不等式f（x）≤g（x）恒成立，求

b

a

的最小值．

已知函数．f（x）=2alnx-x²+a,a∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）有两个零点x₁，x₂，且x₁＜x₂，曲线y=f（x）在这两个零点处的切线交于点（x₀，y₀），求证：x₀小于x₁和x₂的等差中项；
（3）证明：2ln(n+1)＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+⋯+

1

n+1

，n∈N*．

已知离心率为

2

2

的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点为F，左、右顶点分别为A₁、A₂，上顶点为B，且△A₁BF的外接圆半径大小为

3

．
（1）求椭圆C方程；
（2）设斜率存在的直线l交椭圆C于P，Q两点（P，Q位于x轴的两侧），记直线A₁P、A₂P、A₂Q、A₁Q的斜率分别为k₁、k₂、k₃、k₄，若k1+k4=

5

3

(k2+k3)，则直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，圆M：x²+y²=1与x轴的交点恰为C的焦点，且C上的点到焦点距离的最大值为b²．
（1）求C的标准方程；
（2）不过原点的动直线l与C交于A，B两点，平面上一点D满足

OA

=

AD

，连接BD交C于点E（点E在线段BD上且不与端点重合），若

S△EAB

S△OAB

=

2

5

，试判断直线l与圆M的位置关系，并说明理由．