假定某射手每次射击命中目标的概率为

2

3

．现有3发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为X．
（1）求X的概率分布；
（2）分别求均值E（X）和方差V（X）．

已知(2x+1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4．
（1）求

a1

2

+

a2

4

+

a3

8

+

a4

16

的值；
（2）求a₁+2a₂+3a₃+4a₄的值．

在如图所示的一个组合体中，平面ABCD为直角梯形，其中AB∥CD，AB⊥AD，CD⊥AD，四边形CDEF为矩形，平面CDEF⊥平面ABCD，AB=AD=

1

2

CD=1，且M为EA的中点．
（1）若ED=1，求证：AE⊥平面MDC；
（2）若矩形CDEF为正方形，求二面角E-MF-D的余弦值．

如图，正三棱锥S-ABC中，底面边长是3，棱锥的侧面积等于底面积的2倍，M是BC的中点．求：
（1）

AM

SM

的值；
（2）二面角S-BC-A的大小．

如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，AD=2

2

，M为BC的中点．
（1）求证：AM⊥平面PBD；
（2）求平面ABCD与平面APM所成角的余弦值．

2021年是中国共产党百年华诞．中国站在“两个一百年”的历史交汇点，全面建设社会主义现代化国家新征程即将开启.2021年3月23日，中宣部介绍中国共产党成立100周年庆祝活动八项主要内容，其中第一项是结合巩固深化“不忘初心，牢记使命”主题教育成果，在全体党员中开展党史学习教育．这次学习教育贯穿2021年全年，总的要求是学史明理，学史增信、学史崇德，学史力行，教育引导党员干部学党史、悟思想、办实事，开新局．为了配合这次学党史活动，某地组织全体党员干部参加党史知识竞赛，现从参加人员中随机抽取100人，并对他们的分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于80分的人数为ξ，试求随机变量ξ的分布列及期望；
（2）由频率分布直方图，可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数X服从正态分布N（μ，σ²），其中μ近似为样本平均数，σ²近似为样本方差s²，经计算s²=192.44．现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机抽取500人，且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独立，试问这500名参赛者的分数高于82.3的人数最有可能是多少？
（参考数据：

192.44

≈13.9，P（μ-σ≤X≤μ+σ）=0.6827，P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）=0.9545，P（μ-3σ≤X≤μ+3σ）=0.9973）

为调查A，B两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物A和只服用药物B的患者的康复时间，经整理得到如下数据：

康复时间	只服用药物A	只服用药物B
7天内康复	360人	160人
8至14天康复	228人	200人
14天内未康复	12人	40人

假设用频率估计概率，且只服用药物A和只服用药物B的患者是否康复相互独立．
（1）若一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率；
（2）从样本中只服用药物A和只服用药物B的患者中各随机抽取1人，以X表示这2人中能在7天内康复的人数，求X的分布列和数学期望；
（3）以该样本数据估计全国患者的康复情况，若从全国只服用药物A的患者中随机抽取100人，用“P₁₀₀（k）”表示这100人中恰有k人在14天内未康复的概率，其中k=0，1，2…，100．当P₁₀₀（k）最大时，写出k的值．（只需写出结论）

党的二十大报告中指出，建设现代化产业体系，坚持把发展经济的着力点放在实体经济上，推进新型工业化，加快建设制造强国、质量强国、航天强国、交通强国、网络强国、数字中国．某装备制造企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位nm）．
（1）现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于10nm的有4个．现从这7个零件中随机抽取3个．记ξ表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）；
（2）技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为

2

3

，每个零件是否合格相互独立．现任取6个零件进行检测，若合格的零件数η超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及η的方差；
（3）若技术攻坚后新设备生产的零件直径X～N（9，0.04），从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于9.03nm的概率．
参考数据：0.5596¹⁰≈0.0030，0.4404¹⁰≈0.00027，标准正态分布函数表如下：Φ（a）=P（X＜a）

a	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0.0	.5000	.5040	.5080	.5120	.5160	.5199	.5239	.5279	.5319	.5359
0.1	.5398	.5438	.5478	.5517	.5557	.5596	.5636	.5675	.5714	.5753
0.2	.5793	.5832	.5871	.5910	.5948	.5987	.6026	.6064	.6103	.6141
0.3	.6179	.6217	.6255	.6293	.6331	.6368	.6406	.6443	.6480	.6517
0.4	.6554	.6591	.6628	.6664	.6700	.6736	.6772	.6808	.6844	.6879
0.5	.6915	.6950	.6985	.7019	.7054	.7088	.7123	.7157	.7190	.7224

近年来，国际环境和局势日趋严峻，高精尖科技围堵和竞争更加激烈，国家号召各类高科技企业汇聚科研力量，加强科技创新，大力增加研发资金，以突破我国在各个领域的“卡脖子”关键技术，某市为了解本市高科技企业的科研投入和产出方面的情况，抽查了本市8家半导体企业2018年至2022年的研发投资额x（单位：百亿元）和因此投入而产生的收入附加额y（单位：百亿元），对研发投资额x_i和收入附加额y_i进行整理，得到相关数据，并发现投资额x和收入附加额y成线性相关．

投资额xi（百亿元）	2	3	4	5	6	8	9	11
收入附加额yi（百亿元）	3.6	4.1	4.8	5.4	6.2	7.5	7.9	9.1

（1）求收入的附加额y与研发投资额x的线性回归方程（保留三位小数）；
（2）现从这8家企业中，任意抽取3家企业，用X表示这3家企业中收入附加额大于投资额的企业个数，求X的分布列及数学期望．
参考数据：

8

i=1

xiyi=334.1，

8

i=1

yi=48.6，

8

i=1

x

2 i

=356．
附：在线性回归方程

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

中，

̂

b

=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2

=

n i=1 xiyi-n x • y

n i=1 xi2-n x 2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

．

肝脏疾病是各种原因引起的肝脏损伤，是一种常见的危害性极大的疾病，研究表明有八成以上的肝病，是由乙肝发展而来，身体感染乙肝病毒后，病毒会在体内持续复制，肝细胞修复过程中形成纤维化，最后发展成肝病．因感染乙肝病毒后身体初期没有任何症状，因此忽视治疗，等到病情十分严重时，患者才会出现痛感，但已经错过了最佳治疗时机，对乙肝病毒应以积极预防为主，通过接种乙肝疫苗可以预防感染乙肝病毒、体检是筛查乙肝病毒携带者最好的方法，国家在《中小学生健康体检管理办法》中规定：中小学校每年组织一次在校学生健康体检，现某学校有4000名学生，假设携带乙肝病毒的学生占m%，某体检机构通过抽血的方法筛查乙肝病毒携带者，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验次数4000次．为减轻化验工作量，统计专家给出了一种化验方法：随机按照k个人进行分组，将各组k个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这k个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对该组每个人血样再分别化验一次．假设每人血样化验结果呈阴性还是阳性相互独立．
（1）若m=0.4，记每人血样化验次数为X，当k取何值时，X的数学期望最小，并求化验总次数；
（2）若m=0.8，设每人血样单独化验一次费用5元，k个人混合化验一次费用k+4元．求当k取何值时，每人血样化验费用的数学期望最小，并求化验总费用．
参考数据及公式：

10

≈3.16，(1+x)n≈1+nx(n∈N*，n≥2，|x|≤0.01)．