已知函数f(x)=2lnx+1-

a

x

，∈R．
（1）当a=-2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）在区间（1，+∞）上的极值；
（3）设函数g（x）=（x-a）²lnx,h(x)=x+

e2

x

．当a≥-2时，∀x₁∈[1，e]，∀x₂∈[2，3]，不等式g(x1)≤h2(x2)恒成立，求a的取值范围．

在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，动点P满足：|

OP

+

OF

2|+|

OP

-

OF

2|=4．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）设曲线C的右顶点为D，若直线l与曲线C交于A，B两点（A，B不是左右顶点）且满足|

DA

+

DB

|=|

DA

-

DB

|，求原点O到直线l距离的最大值．

已知函数f（x）=alnx+1．
（1）若a=2，设b＞0，讨论函数g（x）=

f(x)-f(b)

x-b

的单调性；
（2）令h（x）=f（x）-1+

1-a

2

x²-x若存在x₀≥1，使得h（x₀）＜

a

a-1

，求a的取值范围．

已知函数f(x)=lnx-

k(x-2)

x

+2．
（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线在两坐标轴上截距相等，求k的值；
（2）（i）当x＞1时，f（x）＞0恒成立，求正整数k的最大值；
（ii）记a_n=（1+1×2）（1+2×3）⋯[1+（n-1）n]，bn=e

2(n-2)2

n

，n∈N₊且n≥2．试比较a_n与b_n的大小并说明理由．

已知函数f（x）=xlnx-a（x-1），其中a∈R．
（1）当a=1时，求函数f（x）在点（e,f（e））上的切线方程．（其中e为自然对数的底数）
（2）已知关于x的方程

f(x)

x

+a=ax+

a

x

有两个不相等的正实根x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）设k为大于1的常数，当a变化时，若

x

k 1

x2有最小值e^e，求k的值．

设函数f（x）=ln（x+1）-

1

2

ax2，g(x)=

1

2

ax2-axex，其中a∈R．
（1）当a=

1

2

时，求函数f（x）的值域；
（2）设F（x）=f（x）+g（x），当0＜a＜1时，
①证明：函数F（x）恰有两个零点；
②若x₀为函数F（x）的极值点，x₁为函数F（x）的零点，且x₁＞x₀，证明：2x₀＞x₁．

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)与直线l₁：y=kx+m(k≠±

b

a

)有唯一的公共点M，过点M且与l₁垂直的直线l₂分别交x轴，y轴于A（x,0），B（0，y）两点，点P坐标为（x,y），当M点坐标为（2，3）时，P点坐标为（8，4）．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）当点M运动时，求P点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

某县城为活跃经济，特举办传统文化民俗节，小张弄了一个套小白兔的摊位，设x_i表示第天的平均气温，y_i表示第i天参与活动的人数，i=1，2，…，20，根据统计，计算得到如下一些统计量的值：

20

i=1

(xi-

x

)2=80，

20

i=1

(yi-

y

)2=9000，

20

i=1

(xi-

x

)(yi-

y

)=800．
（Ⅰ）根据所给数据，用相关系数r（精确到0.01）判断是否可用线性同归模型拟合y与x的关系；
（Ⅱ）现有两个家庭参与套圈，A家庭3位成员每轮每人套住小白兔的概率都为

3

10

，B家庭3位成员每轮每人套住小白兔的概率分别为

1

3

，

1

4

，

1

6

，每个家庭的3位成员均玩一次套圈为一轮，每轮每人收费20元，每个小白兔价值40元，且每人是否套住相互独立，以每个家庭的盈利的期望为决策依据，问：一轮结束后，哪个家庭损失较大？
附：相关系数r=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2 n i=1 (yi- y )2

．

已知棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是棱BC，CC₁的中点．
（1）求多面体CEFADD₁的体积；
（2）求直线BD₁和平面AEFD₁所成角的正弦值．

某学校为推动数学强基活动开展，组织高二学生进行了数学强基知识竞赛．比赛分初赛和决赛，其中初赛采用“两轮制”方式进行，参赛选手都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的同学才能参与决赛的资格．若已知甲、乙两名同学参赛，在初赛中，甲、乙通过第一轮比赛的概率分别是

3

4

，

2

3

，通过第二轮比赛的概率分别是

4

5

，

3

4

，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响．
（1）设甲、乙获得决赛资格的个数为X，求X的数学期望；
（2）已知甲、乙在决赛中相遇．决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得10分，答错一题扣10分，得分高的获胜．假设两人在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，且甲、乙两人抢到该题的可能性分别是

1

3

，

2

3

，假设每道题抢与答的结果均互不影响，求乙在第一道题中得10分的情况下甲获胜的概率．