中国是纸的故乡，折纸也是起源于中国．后来数学家将几何学原理运用到折纸中，并且利用折纸来研究几何学，很好的把折纸艺术与数学相结合．将一张纸片折叠一次，纸片上会留下一条折痕，如果在纸片上按照一定的规律折出很多折痕后，纸上能显现出一条漂亮曲线的轮廓．
如图，一张圆形纸片的圆心为点D，A是圆外的一个定点，P是圆D上任意一点，把纸片折叠使得点A与P重合，然后展平纸片，折痕与直线DP相交于点Q，当点P在圆上运动时，得到点Q的轨迹．
（1）证明：点Q的轨迹是双曲线；
（2）设定点A坐标为2，纸片圆的边界方程为（x+2）²+y²=r²．若点M（2，3）位于（1）中所描述的双曲线上，过点M的直线l交该双曲线的渐近线于E，F两点，且点E，F位于y轴右侧，O为坐标原点，求△EOF面积的最小值．

已知函数f(x)=

e2x

2

-aex+x．
（1）讨论f（x）的极值点个数；
（2）若f（x）有两个极值点x₁，x₂，直线y=kx+b过点（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂））．
（i）证明：k＞f′(ln

a

2

)；
（ii）证明：b＜

1

2

-a．

已知函数f(x)=xsinx+cosx+

1

2

ax2，g(x)=xln

x

π

．
（1）当a=0时，求函数f（x）在[-π，π]上的极值；
（2）用max{m,n}表示m,n中的最大值，记函数h（x）=max{f（x），g（x）}（x＞0），讨论函数h（x）在（0，+∞）上的零点个数．

已知a＞0，设函数f（x）=（2x-a）lnx+x,f′（x）是f（x）的导函数．
（1）若a=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若f（x）在区间（1，+∞）上存在两个不同的零点x₁，x₂（x₁＜x₂）．
①求实数a的取值范围；
②证明：x2f′(x2)＜

a2

2e

-

a

2

-e．

已知A、B是平面内的两个定点，且|AB|=8，动点M到A点的距离是10，线段MB的垂直平分线l交MA于点P，若以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立直角坐标系．
（1）试求P点的轨迹C的方程；
（2）直线mx-y-4m=0（m∈R）与点P所在曲线C交于弦EF，当m变化时，试求△AEF的面积的最大值．

已知函数f（x）=xcosx,g（x）=asinx.
（1）若a=1，证明：当x∈（0，

π

2

），x∈（0，+∞）时，x＞g（x）＞f（x）；
（2）当x∈（-

π

2

，0）∪（0，

π

2

）时，

f(x)

g(x)

＜

sinx

x

，求a的取值范围．

已知函数f（x）=e^ax，a∈R．
（1）令g(x)=

f(x)

x+1

，讨论g（x）的单调性；
（2）证明：(

1

4

)2+(

1

6

)3+…+(

1

2n

)n＜

1

e(e-1)

，n∈N*；
（3）若a=1，对于任意的m,n∈R，不等式

2f(2m)

f(n)

+bf(lnn)⋅f(m)+2≥0恒成立，求实数b的取值范围．

已知函数f（x）=e^x（1+alnx），f′（x）为f（x）的导函数，且f'（x）≥3e^x恒成立．
（1）求实数a的取值范围；
（2）函数f（x）的零点为x₁，f′（x）的极值点为x₂，证明：x₁＞x₂．

已知函数f（x）=x²+xlnx-ax,g（x）=ae^-2x+x²．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）和g（x）有相同的极值点x₀，求实数a的值．

已知函数f(x)=ax+(a-1)lnx+

1

x

，a∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若关于x的方程f(x)=xex-lnx+

1

x

有两个不相等的实数根x₁，x₂，
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）求证：

ex1

x2

+

ex2

x1

＞

2a

x1x2

．