如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，CC₁⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，且BC=DC=DB=AA₁=2，E是BC的中点．
（1）求证：BD₁∥平面DEC₁；
（2）求证：直线DE⊥平面B₁BCC₁；
（3）求直线BD₁与平面D₁DCC₁所成角的正弦值．

在开展某些问卷调查时，往往会因为涉及个人隐私而导致调查数据不准确，某小组为探究“甲校园中曾经有多少学生上课睡过觉”设计A、B两个问题，A问题“你是否曾经上课睡过觉”，B问题“你是否在上半年出生”，小组成员邀请学生逐一在装有A、B问题的两个袋子中随机选取一个，若答案是肯定的，则向盒子中放入1个石子，否则直接离开（B问题肯定与否定的概率视为相等），由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案．
（1）若该小组共邀请了100名学生，盒子内出现了30个石子，甲校园内有1000个学生，试估计甲校园内曾经上课睡过觉的学生人数；
（2）视（1）问中的频率为概率，现从该校园中随机抽取4名学生，记其中曾经上课睡过觉的人数为X，求X的分布列和数学期望．

在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量．该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]，得到如图频率分布直方图．规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩．
（1）将上述质量检测的频率视为概率，现从该工厂此类口罩生产线上生产出的大量口罩中，采用随机抽样方法每次抽取1个口罩，抽取8次，记被抽取的8个口罩中一级口罩个数为ξ．若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的方差；
（2）现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为η，求η的分布列及数学期望；
（3）在2023年“五一”劳动节前，甲、乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加A，B两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由n（n≥2，n∈N^*）个该型号口罩构成．假定甲、乙两人在A，B两店订单“秒杀”成功的概率分别为

π

n2

，

π

n

，记甲、乙两人抢购成功的口罩总数量为X，求当X的数学期望E（x）取最大值时正整数n的值．

某人准备投资两个新型项目，新型项目A的投资额m（单位：万元）与利润n（单位：万元）的关系式为n=1.7m-0.5，新型项目B的投资额x（单位：万元）与利润y（单位：万元）有如下统计数据表：

投资额x（单位：万元）	1	2	3	4	5
利润y（单位：万元）	2	3	5	7	8

（1）求新型项目B中y关于x的线性回归方程

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

；
（2）根据（1）中所求的回归方程，若A，B两个项目都投资6万元，试预测哪个项目的收益更好．
参考公式：

̂

b

=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2

=

n i=1 xiyi-n x y

n i=1 x 2 i -n x 2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

．

已知f'（x）是奇函数f（x）的导函数，且当x∈(0，

π

2

)∪(

π

2

，π)时，f（x）+f'（x）tanx＞0，则（　　）

已知椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，过原点的直线交椭圆于A、B（A在第一象限）由A向x轴作垂线，垂足为C，连接BC交椭圆于D，若三角形ABD为直角三角形，则椭圆的离心率为（　　）

已知函数y=e^x-ax有两个零点x₁，x₂，函数y=lnx-

1

a

x有两个零点x₂，x₃，给出下列4个结论：
①x₁=lnx₂；
②x3=ex2；
③x1=ex3；
④x₁•x₃=

x

2 2

．
其中所有正确结论的序号是（　　）

已知函数f（x）=lnx,g（x）=e^x，∃x₁，x₂∈[1，2]使|g（x₁）-g（x₂）|＞k|f（x₁）-f（x₂）|（k为常数）成立，则常数k的取值范围为（　　）

已知函数f（x）=（x-2）e^x-ax²+2ax-2a,若f（x）有两个不同的极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），且当0＜x＜x₂时恒有f（x）＜-2a,则a的取值范围是（　　）

设a=1+sin0.1，b=e^0.1，c=1.01¹⁰，d=

10π+3

10π

，则a,b,c,d间的大小关系为（　　）