如图1所示，等边△ABC的边长为2a,CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC边的中点．现将△ABC沿CD折叠，如图2所示．
（1）证明：CD⊥EF；
（2）折叠后若AB=a,求二面角A-BD-E的余弦值．

某区域中的物种P拥有两个亚种（分别记为A种和B种）．为了调查该区域中这两个亚种的数目，某生物研究小组计划在该区域中捕捉100个物种P，统计其中A种的数目后，将捕获的生物全部放回，作为一次试验结果．重复进行这个试验共20次，记第i次试验中A种的数目为随机变量X_i（i=1，2，…，20）．设该区域中A种的数目为M，B种的数目为N，每一次试验均相互独立．
（1）求X₁的分布列；
（2）记随机变量

x

=

1

20

20

i=1

Xi．已知E（X_i+X_j）=E（X_i）+E（X_j），D（X_i+X_j）=D（X_i）+D（X_j）；
（ⅰ）证明：E（

X

）=E（X_i），D（

X

）=

1

20

D(X1)；
（ⅱ）该小组完成所有试验后，得到X_i的实际取值分别为x_i（i=1，2，…，20）．数据x_i（i=1，2，…，20）的平均值

x

=40，方差s²=1.176．采用

x

和s²分别代替E（

X

）和D（

X

），给出M，N的估计值．

在世界杯期间，学校组织了世界杯足球知识竞赛，有单项选择题和多项选择题（都是四个选项）两种：
（1）甲在知识竞赛中，如果不会单项选择题那么就随机猜测．已知甲会单项选择题和甲不会单项选择题随机猜测的概率分别是

2

3

，

1

3

．问甲在做某道单项选择题时，在该道题做对的条件下，求他会这道单项选择题的概率；
（2）甲在做某多项选择题时，完全不知道四个选项正误的情况下，只好根据自己的经验随机选择，他选择一个选项、两个选项、二个选项的概率分别为0.5，0.3，0.2．已知多项选择题每道题四个选项中有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有选择错误的得0分．某个多项选择题有三个选项是正确的，记甲做这道多项选择题所得的分数为X，求X的分布列及数学期望．

小刚在闲暇之时设计了如下一个“数列”{a_n}满足：a₁=1，当a_n为偶数时，a_n+1=1，当a_n为奇数时，a_n+1有

1

2

的几率为a_n+1，有

1

2

的几率为a_n+2．
（1）求a₅的分布列和数学期望；
（2）求a_n的前n项和S_n的数学期望．

某食品专卖店为调查某种零售食品的受欢迎程度，通过电话回访的形式，随机调查了200名年龄在18～40岁的顾客．以28岁为分界线，按喜欢不喜欢，得到下表，且年龄在18～28岁间不喜欢该食品的频率是

1

5

．

	喜欢	不喜欢	合计
年龄18～28岁（含28岁）	80	m
年龄29～40岁（含40岁）	n	40
合计

（1）求表中m,n的值；
（2）能否有99%的把握认为顾客是否喜欢该食品与年龄有关？
附：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.

P（K2≥k）	0.05	00.01	00.001
k	3.841	6.635	10.828

已知二项式(

x

-

3

x2

)n，且

C

2 n

=15．
（1）求(

x

-

3

x2

)n的展开式中的第5项；
（2）求(

x

-

3

x2

)n的二项式系数最大的项．

如图所示的几何体ABCDE中，平面DAB⊥平面EAB，AB=AD=AE=2BC=2，BE=BD=2

2

，CB∥DA，若M为CE的中点，N为BE的中点，AF=3FD．
（1）求证：FN∥平面MBD；
（2）求点F到平面MBD的距离；
（3）求平面MBD与平面ABD所成角（锐角）的余弦值．

从甲、乙、丙等5人中随机地抽取三个人去做传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．
（1）记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量X，求X的分布列；
（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记n次传球后球在甲手中的概率为p_n，n=1，2，3，⋯，
①直接写出p₁，p₂，p₃的值；
②求p_n+1与p_n的关系式（n∈N^*），并求p_n（n∈N^*）．

正四棱锥P-ABCD中，AB=2，PO=3，其中O为底面中心，M为PD上靠近P的三等分点．
（1）求四面体M-ACP的体积；
（2）是否存在侧棱PB上一点N，使面CMN与面ABCD所成角的正切值为

2

？若存在，请描述点N的位置；若不存在，请说明理由．

近期新冠疫情在全球肆虐，某国在A，B，C三个地区分别有6%，5%，4%的民众核酸检测呈阳性，假设这三个地区的人口数的比为3：4：3，现从这三个地区中任选一人，
（1）求这个人核酸检测呈阳性的概率；
（2）如果此人呈阳性，求此人选自A地区的概率．