从传统旅游热点重现人山人海场面，到新兴旅游城市异军突起；从“特种兵式旅游”出圈，到“味蕾游”兴起；从文博演艺一票难求，到国风国潮热度不减……2023年“五一”假期旅游市场传递出令人振奋的信息．这个“五一”假期，您在游玩时的满意度如何？您对景区在“吃住行游购娱”等方方面面有哪些评价和感受？为此，某市文旅局对市内各景区进行了游客满意度测评（满分100分）．
（1）本市一景区随机选取了100名游客的测评成绩作为样本并进行统计，得到如表频率分布表．

成绩	[0，20）	[20，40）	[40，60）	[60，80）	[80，100]
频率	0.1	0.1	0.3	0.35	0.15

按照分层抽样的方法，先从样本测评成绩在[0，20），[80，100]的游客中随机抽取5人，再从这5人中随机选取3人赠送纪念品，记这3人中成绩在[80，100]的人数为X，求X的分布列及期望；
（2）该市文旅局规定游客满意度测评成绩在80分及以上为“好评”，并分别统计了该市7个景区满意度测评的平均成绩x与“好评”率y,如表所示：

x	32	41	54	68	74	80	92
y	0.28	0.34	0.44	0.58	0.66	0.74	0.94

根据数据初步判断，可选用y=ke^λx（k⟩0）作为回归方程．
（ⅰ）求该回归方程；
（ⅱ）根据以上统计分析，可以认为本市各景区满意度测评平均成绩x～N（μ，400），其中μ近似为样本平均数a,估计该市景区“好评”率不低于0.78的概率为多少？
参考公式与数据：
①若z=lny,则

z

≈-0.64，

7 i=1 xizi-7 x z

n i=1 x 2 i -7 x 2

≈0.02，ln0.15≈-1.9，ln5.2≈1.66．
②线性回归方程

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

中，

̂

b

=

n i=1 xiyi-n x y

n i=1 x 2 i -n x 2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

．
③若随机变量X～N（u,σ²），则P（μ-σ＜X＜μ+σ）≈0.683；
P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）≈0.954；
P（μ-3σ＜X＜μ+3σ）≈0.997．

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC，A₁A=A₁C．
（1）证明：BA₁⊥A₁C₁；
（2）若A1A=A1C=

2

AB，∠ABC=

π

3

，且AB=A₁B，求二面角A₁-BC-C₁的正弦值．

某人玩一项有奖游戏活动，其规则是：有一个质地均匀的正四面体（每个面均为全等的正三角形的三棱锥），四个面上分别刻着1，2，3，4，抛掷该正四面体5次，记录下每次与地面接触的面上的数字．
（1）求接触面上的5个数的乘积能被4整除的概率；
（2）若每次抛掷到接触地面的数字为3时奖励200元，否则倒罚100元，
（ⅰ）设甲出门带了1000元来参加该游戏，记游戏后甲身上的钱为X元，求E（X）；
（ⅱ）若在游戏过程中，甲决定当自己赢了的钱一旦不低于300元时立即结束游戏，求甲不超过三次就结束游戏的概率．

中华传统文化的主要内容，从学术流派的角度，主要包括儒家、道家、佛家、诸子百家；从文化载体的角度，主要包括经、史、子、集；从日常生活的角度，主要包括传统民俗文化．为了弘扬中华传统文化，某市初中课后服务开设了中华传统文化专题兴趣小组，该市每学期均组织举办中华传统文化知识竞赛．竞赛规则是：该市属初中均组队参加，每队6人，平均分为3组参加“学术流派”、“文化载体”、“民俗文化”3类专项赛，专项赛的比赛赛制为：每所学校的两人为一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答3道题，若答对题目不少于5道题，则获得一个积分．已知红心初级中学的张华与刘中两名同学一组，张华与刘中每道题答对的概率分别是p₁（0＜p₁＜1）和p₂（0＜p₂＜1），且每道题答对与否互不影响．
（1）若p₁=

2

3

，记张华在一轮竞赛中答对题的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望；
（2）若p₁+p₂=

4

3

，且每轮比赛互不影响，若张华与刘中组想至少获得5个积分，那么理论上至少要进行多少轮竞赛？

某大型商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为黑色．抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球．如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖．
（1）若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数X的分布列和数学期望．
（2）若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数Y的分布列和数学期望．
（3）如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由．

为调查某地区植被覆盖面积x（单位：公顷）和野生动物数量y的关系，某研究小组将该地区等面积花费为400个区块，从中随机抽取40个区块，得到样本数据（x_i，y_i）（i=1，2，…，40），部分数据如下：

x	…	2.7	3.6	3.2	3.9	…
y	…	50.6	63.7	52.1	54.3	…

经计算得：

40

i=1

x_i=60，

40

i=1

y_i=2400，

40

i=1

（x_i-

x

）²=160，

40

i=1

（x_i-

x

）（y_i-

y

）=1280．
（1）利用最小二乘估计建立y关于x的线性回归方程；
（2）该小组又利用这组数据建立了x关于y的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标系xOy下，横坐标x,纵坐标y的意义与植被覆盖面积x和野生动物数量y一致．设前者与后者的斜率分别为k₁，k₂，比较k₁，k₂的大小关系，并证明．
附：y关于x的回归方程

̂

y

=

̂

a

+

̂

b

x中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

̂

b

=

n i=1 xiyi-n x ⋅ y

n i=1 xi2-n x 2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

，r=

n i=1 xiyi-n x y

( n i=1 xi2-n x 2)( n i=1 yi2-n y 2)

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，D为CC₁的中点，BB1=

2

BC．
（1）求证：平面AB₁C⊥平面ABD；
（2）若AB=BD，求二面角B-AD-B₁的余弦值．

随着消费者对环保、低碳和健康生活的追求不断加强，新能源汽车的市场需求也在不断增加．新能源汽车主要有混合动力汽车、纯电动汽车、燃料电池汽车等类型．某汽车企业生产的A型汽车，有混合动力和纯电动两种类型，总日产量达120台，其中有30台混合动力汽车，90台纯电动汽车．
（1）若从中随机抽检2台汽车，用X表示抽检混合动力汽车的台数，分别就有放回抽检与不放回抽检，求X的分布列及数学期望；
（2）若从每日生产的120台A型汽车中随机地抽取10台样本，用Y表示样本中混合动力汽车台数，分别就有放回抽取和不放回抽取，用样本中的混合动力汽车台数的比例估计总体中混合动力汽车台数的比例，求误差不超过0.15的概率，并比较在相同的误差限制下，采用哪种抽取估计的结果更可靠．
参考数据：（概率值精确到0.00001）

k	二项分布概率值	超几何分布概率值
0	0.05631	0.04929
1	0.18771	0.18254
2	0.28157	0.29051
3	0.25028	0.26134
4	0.14600	0.14701
5	0.05840	0.05396
6	0.01622	0.01307
7	0.00309	0.00206
8	0.00039	0.00020
9	0.00003	0.00001
10	0.00000	0.00000
总计	1.00000	1.00000

五一小长假期间，文旅部门在某地区推出A，B，C，D，E，F六款不同价位的旅游套票，每款套票的价格x_i（单位：元；i=1，2，…，6）与购买该款套票的人数y_i（单位：千人）的数据如下表：

套票类别	A	B	C	D	E	F
套票价格xi（元）	40	50	60	65	72	88
购买人数yi（千人）	16.9	18.7	20.6	22.5	24.1	25.2

（注：A，B，C，D，E，F对应i的值为1，2，3，4，5，6）
为了分析数据，令v_i=lnx_i，ω_i=lny_i，发现点（v_i，ω_i）集中在一条直线附近．
（1）根据所给数据，建立购买人数y关于套票价格x的回归方程；
（2）规定：当购买某款套票的人数y与该款套票价格x的比值在区间[

e

9

，

e

7

]上时，该套票为“热门套票”．现有甲、乙、丙三人分别从以上六款旅游套票中购买一款．假设他们买到的套票的款式互不相同，且购买到“热门套票”的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．
附：
①参考数据：

6

i=1

viωi=75.3，

v

=4.1，

ω

=3.05，

6

i=1

v

2 i

=101.4．
②对于一组数据（v₁，ω₁），（v₂，ω₂），…，（v_n，ω_n），其回归直线

̂

ω

=

̂

b

v+

̂

a

的斜率和截距的最小二乘估计分别为

̂

b

=

n i=1 v1ω1-n v ω

n i=1 v12-n v 2

，

̂

a

=

ω

-

̂

b

v

．

2023年高考进入倒计时，为了帮助学子们在紧张的备考中放松身心，某重点高中通过开展形式多样的减压游戏，确保同学们以稳定心态，良好地状态迎战高考，游戏规则如下：盒子中初始装有2个白球和1个红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是红球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个白球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．
（1）如果某同学进行该抽球游戏时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球
试验的轮次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；
（2）为验证抽球试验成功的概率不超过

1

3

，假设有1000名学生独立的进行该抽球试验，记t表示成功
时抽球试验的轮次数，y表示对应的人数，部分统计数据如下：

t	1	2	3	4	5
y	120	62	33	20	15

求y关于t的回归方程

̂

y

=

̂ b

t

+

̂

a

，并通过回归方程预测成功的总人数（

̂

y

取整数部分）；
（3）证明：

1

32

+(1-

1

32

)

1

42

+(1-

1

32

)(1-

1

42

)

1

52

+…+(1-

1

32

)(1-

1

42

)…(1-

1

(n+1)2

)

1

(n+2)2

＜

1

3

．
附：经验回归方程系数：

̂

b

=

n i=1 xiyi-n x ⋅ y

n i=1 x 2 i -n x 2

，

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

；
参考数据：

5

i=1

x

2 i

=1.46，

x

=0.46，

x

2=0.212（其中xi=

1

ti

，

x

=

1

5

5

i=1

xi）．