已知△ABC中，∠A=45°，AB=2

2

，AC=3，那么BC等于 __________．

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且sinB=2sinA，3c=4a+b,则cosB=__________．

位于河北省承德避暑山庄西南十公里处的双塔山，因1300多年以前，契丹人在双塔峰顶建造的两座古塔增添了诸多神秘色彩．双塔山无法攀登，现准备测量两峰峰顶处的两塔塔尖的距离．如图，在与两座山峰、山脚同一水平面处选一点A，从A处看塔尖C的仰角是45°，看塔尖B的仰角是60°，又测量得∠BAC=45°，若塔尖B到山脚底部D的距离为20

6

米，塔尖C到山脚底部E的距离为30

2

米，则两塔塔尖之间的距离为 __________米．

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若A=

2π

3

，a=7，b=3，则S_△ABC=__________．

法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名．对△ABC而言，若其内部的点P满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则称P为△ABC的费马点．如图所示，在△ABC中，已知∠BAC=45°，设P为△ABC的费马点，且满足∠PBA=45°，PA=2．则△ABC的外接圆直径长为 __________．

在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a,b,c,若角A，B，C依次成等差数列，且a=1，b=

3

，则S_△ABC=__________．

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知2bcsinA+

3

(a2+b2-c2)=0，则∠C=__________；若点D是边AB上靠近A的三等分点，且CD=1，则△ABC面积的最大值为 __________．

在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知a=4，B=45°，若（4-b）（sinA+sinB）=（c-b）sinC，则A=__________，b=__________．

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,面积为S，若（a²-b²+c²）=

3

S，则角B的值为 __________．（用反正切表示）

对任意的x＞1，不等式e^x-x⁴+3x³lnx-ax³≥0恒成立，则实数a的取值范围为 __________．