随着春季学期开学，某市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念．该市某中学有A，B两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：

选择餐厅情况（午餐，晚餐）	（A，A）	（A，B）	（B，A）	（B，B）
王同学	9天	6天	12天	3天
张老师	6天	6天	6天	12天

假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率．
（1）估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；
（2）记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望E（X）；
（3）假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，P（M）＞0，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：P（M|N）＞P（M|

N

）．

搪瓷是在金属坯体表面涂搪瓷釉而得到的制品．曾经是人们不可或缺的生活必备品，厨房用具中的锅碗瓢盆；喝茶用到的杯子，洗脸用到的脸盆；婚嫁礼品等，它浓缩了上世纪整整一个时代的记忆．某搪瓷设计公司新开发了一种新型复古搪瓷水杯，将其细分成6个等级，等级系数X依次3，4，5，6，7，8，该公司交给生产水平不同的A和B两个厂生产，从B厂生产的搪瓷水杯中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如图所示．

（1）依据图表，若从上述等级系数为7和8的搪瓷水杯中抽取2件，求这两件全部来自等级系数为8的搪瓷水杯的概率；
（2）若A厂生产搪瓷水杯的等级系数的平均值为6，在电商平台上A厂生产的搪瓷水杯的零售价为36元/件，B厂生产的搪瓷水杯的零售价为30元/件．设L=

产品等级系数的平均值

产品零售价

，若以L的值越大，产品越具可购买性为判断标准，根据以上数据，哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．

如图所示，空间四边形ABCD中，DC⊥BC，AB⊥BC，且DC=2，AB=AD=2

2

，二面角D-BC-A的大小为45°．
（1）求异面直线BD和AC的夹角；
（2）求二面角D-AC-B的大小．

国家为响应世界卫生组织（WHO）的号召发布了《体育锻炼和久坐行为指南》，重点为了减少久坐时间，加强体育锻炼，改善身体状况．并提出每周至少进行150至300分钟的中等强度有氧运动或75至150分钟的剧烈运动．某学校举行一次跳跃运动比赛，规则如下：假设比赛过程中每位选手需要进行2次三周及三周以上的跳跃动作，其中甲的三周跳跃动作成功率为0.7，成功完成动作后得8分，失败得4分；甲的四周跳跃动作成功率为0.3，成功完成动作后得15分，失败得6分（每次跳跃动作是否成功相互独立）．
（1）若甲选择先进行一次三周跳跃动作，再进行一次四周跳跃动作．求甲的得分高于14分的概率；
（2）若甲选择连续进行两次三周跳跃动作，Y表示甲的最终得分，求随机变量Y的数学期望．

如图（1），在正三角形ABC中，D，E分别为AB，AC中点，将△ADE沿DE折起，使二面角A-DE-B为直二面角，如图（2），连接AB，AC，过点E作平面EFG与平面ABD平行，分别交BC，AC于F，G．

（1）证明：EG⊥平面ABC；
（2）点H在线段AD上运动，当FH与平面EFG所成角的正弦值为

15

5

时，求

AH

AD

的值．

某乡镇在实施乡村振兴的进程中，大力推广科学种田，引导广大农户种植优良品种，进一步推动当地农业发展，不断促进农业增产农民增收．为了了解某新品种水稻的产量情况，现从种植该新品种水稻的不同自然条件的田地中随机抽取100亩，统计其亩产量x（单位：吨（t）），并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图．
（1）求这100亩水稻平均亩产量的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，精确到小数点后两位）；
（2）若该品种水稻的亩产量x近似服从正态分布N（μ，σ²），其中μ为（1）中平均亩产量的估计值，σ≈0.15．若该县共种植10万亩该品种水稻，试用正态分布估计亩产量不低于0.6t的亩数；
（3）将频率视为概率，若从所有种植该品种水稻的田地中随机抽取3亩进行分析，设其亩产量不低于0.8t的亩数为ξ，求随机变量ξ的期望．
附：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ²），则P（μ-σ≤X≤μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ≤X≤μ+3σ）=0.9974．

已知四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，AC交BD于点O，AC=2

3

，BD⊥PA，PA=PC．
（1）证明：PO⊥平面ABCD；
（2）若平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值为

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19

，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．

人勤春来早，实干正当时．某工厂春节后复工复产，为满足市场需求加紧生产，但由于生产设备超负荷运转导致某批产品次品率偏高．已知这批产品的质量指标X∼N（80，σ²），当X∈（60，100）时产品为正品，其余为次品．生产该产品的成本为20元/件，售价为40元/件．若售出次品，则不更换，需按原售价退款并补偿客户10元/件．
（1）若某客户买到的10件产品中恰有两件次品，现从中任取三件，求被选中的正品数量ξ的分布列和数学期望；
（2）已知P（X≤60）=0.02，工厂欲聘请一名临时质检员检测这批产品，质检员工资是按件计费，每件x元．产品检测后，检测为次品便立即销毁，检测为正品方能销售．假设该工厂生产的这批产品都能销售完，工厂对这批产品有两种检测方案，方案一：全部检测；方案二：抽样检测．若要使工厂两种检测方案的盈利均高于不检测时的盈利，求x的取值范围，并从工厂盈利的角度选择恰当的方案．

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π），且x=

π

6

，x=

7π

6

是函数f（x）相邻的两个最大值点，∀x∈R，-2≤f（x）≤2，则（　　）

对于函数f(x)=

sinx+cosx-|sinx-cosx|

2

，下列结论正确的是（　　）