从某企业生产的产品中随机抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如下样本数据频率分布直方图．
（1）估计该企业这种产品质量指标值的平均数

x

和方差s²；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值X服从正态分布N（μ，σ²），其中μ近似为样本平均数

x

，σ²近似为样本方差s²，一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算，若X～N（μ，σ²），令Y=

X-μ

σ

，则Y～N（0，1），且Φ（a）=P（Y＜a）．
（ⅰ）利用直方图得到的正态分布，求P（X＜120）；
（ⅱ）若质量指标值在区间[85，135]内的为合格品，其余为不合格品，为了保证出厂产品质量，需要对产品进行检查，但直接检查带有破坏性，现在尝试一种新的检查方法，经试验知一件合格品经检查而获准出厂的概率是0.97，一件不合格品经检查而获准出厂的概率是0.04，求采用新的检查方法后，获准出厂的产品是合格品的概率为多少（精确到0.1%）？
参考数据：

162

≈12.7标准正态分布表Φ（a）

α	0.00	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0.0	0.5000	0.5040	0.5080	0.5120	0.5160	0.5199	0.5239	0.5279	0.5319	0.5359
0.1	0.5398	0.5438	0.5478	0.5517	0.5557	0.5596	0.5636	0.5675	0.5714	0.5753
0.2	0.5793	0.5832	0.5871	0.5910	0.5948	0.5987	0.6026	0.6064	0.6103	0.6141
0.3	0.6179	0.6217	0.6255	0.6293	0.6331	0.6368	0.6406	0.6443	0.6480	0.6517
0.4	0.6554	0.6591	0.6628	0.6664	0.6700	0.6736	0.6772	0.6808	0.6844	0.6879
0.5	0.6915	0.6950	0.6985	0.7019	0.7054	0.7088	0.7123	0.7157	0.7190	0.7224
0.6	0.7257	0.7291	0.7324	0.7357	0.7389	0.7422	0.7454	0.7486	0.7517	0.7549
0.7	0.7580	0.7611	0.7642	0.7673	0.7703	0.7734	0.7764	0.7794	0.7823	0.7852
0.8	0.7881	0.7910	0.7939	0.7967	0.7995	0.8023	0.8051	0.8078	0.8106	0.8133
0.9	0.8159	0.8186	0.8212	0.8238	0.8264	0.8289	0.8315	0.8340	0.8365	0.8389

某手机APP公司对喜欢使用该APP的用户年龄情况进行调查，随机抽取了100名喜欢使用该APP的用户，年龄均在[15，65]周岁内，按照年龄分组得到如下所示的样本频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图，估计使用该视频APP用户的平均年龄的第85%分位数（小数点后保留2位）；
（2）若所有用户年龄X近似服从正态分布N（μ，σ²），其中μ为样本平均数的估计值，σ≈10.5，试估计喜欢使用该APP且年龄大于61周岁的人数占所有喜欢使用该APP的比例；
（3）用样本的频率估计概率，从所有喜欢使用该APP的用户中随机抽取8名用户，用P（X=k）表示这8名用户中恰有k名用户的年龄在区间[25，35）岁的概率，求P（X=k）取最大值时对应的k的值；
附：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ²），则：P（μ-σ＜X＜μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9545，P（μ-3σ＜X＜μ+3σ）≈0.9973

某学校有A、B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8．
（1）①求王同学第2天去A餐厅用餐的概率；
②如果王同学第2天去A餐厅用餐，求他第1天在A餐厅用餐的概率；
（2）A餐厅对就餐环境、菜品种类与品质等方面进行了改造与提升改造提升后，A餐厅对就餐满意程度进行了调查，统计了100名学生的数据，如表（单位：人）．

就餐满意程度	A 餐厅改造提升情况		合计
	改造提升前	改造提升后
满意	28	57	85
不满意	12	3	15
合计	40	60	100

依据小概率值α=0.005的独立性检验，能否认为学生对于A餐厅的满意程度与餐厅的改造提升有关联？
附：χ2=n（ad-bc）2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d），其中n=a+b+c+d.

α	0.1	0.05	0.01	0.005
xα	2.706	3.841	6.635	7.879

有三种不同的果树苗A，B，C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.6，引种树苗B，C的自然成活率均为p（0.6≤p≤0.8）．
（1）任取树苗A，B，C各一株，设自然成活的株数为X，求X的分布列及E（X）；
（2）将（1）中的E（X）取得最小值时的p的值作为B种树苗自然成活的概率．该农户决定引种n（n∈N^*）株B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有80%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.5，其余的树苗不能成活．
①求一株B种树苗最终成活的概率；
②若每株树苗引种最终成活后可获利400元，不成活的每株亏损60元，该农户为了获利不低于30万元，应至少引种B种树苗多少株？

为贯彻落实习近平总书记关于学生近视问题的指示精神和《教育等八部门关于印发＜综合防控儿童青少年近视实施方案＞的通知》以及《中国防治慢性病中长期规划（2017-2025年）》等文件要求，切实提升我省儿童青少年视力健康整体水平，实施了，“明眸”工程．各中小学为推进近视综合防控，落实“明眸”工程，开展了近视原因的调查．其校为研究本校的近视情况与本校学生是否有长时间使用电子产品习惯的关系，在已近视的学生中随机调查了100人，同时在未近视的学生中随机调查了100人，得到如下数据：

	长时间使用电子产品	非长时间使用电子产品
近视	45	55
未近视	20	80

（1）能否有99%的把握认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关？
（2）据调查，某校患近视学生约为46%，而该校长时间使用电子产品的学生约为30%，这些人的近视率约为60%．现从每天非长时间使用电子产品的学生中任意调查一名学生，求他患近视的概率．
附：χ2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.

α	0.10	0.05	0.01	0.005	0.001
xα	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

如图，在四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面ADD₁A₁⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，AD=2，DD₁=D₁A₁=A₁A=1．
（1）求证：AD₁⊥平面CDD₁C₁；
（2）点M在直线BB₁上，且AD⊥平面MCD，求MC₁与平面CDD₁C₁所成角的正弦值．

如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB=

2

，CE=EF=1．
（1）求证：CF⊥平面BDE；
（2）求二面角A-BE-D的大小．

为迎接“五一小长假”的到来，某商场开展一项促销活动，凡在商场消费金额满200元的顾客可以免费抽奖一次，抽奖规则如下：在不透明箱子中装有除颜色外其他都相同的10个小球，其中，红球2个，白球3个，黄球5个，顾客从箱子中依次不放回地摸出2个球，根据摸出球的颜色情况分别进行兑奖．将顾客摸出的2个球的颜色分成以下四种情况：A：1个红球1个白球，B：2个红球，C：2个白球，D：至少一个黄球．若四种情况按发生的概率从小到大的顺序分别对应一等奖，二等奖，三等奖，不中奖．
（1）求顾客在某次抽奖中，第二个球摸到为红球的概率；
（2）求顾客分别获一、二、三等奖时对应的概率；
（3）若三名顾客每人抽奖一次，且彼此是否中奖相互独立．记中奖的人数为X，求X的分布列和期望．

已知平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱）ABCD-A₁B₁C₁D₁的各条棱长均为2，且有∠AA₁D₁=∠AA₁B₁=∠D₁A₁B₁=60°．
（1）求证：平面AA₁C₁C⊥平面A₁B₁C₁D₁；
（2）求直线B₁D与平面AA₁C₁C所成角的正弦值．

晋中市是晋商文化的发源地，且拥有丰富的旅游资源，其中有保存完好的大院人文景观（如王家大院，常家庄园等），也有风景秀丽的自然景观（如介休绵山，石膏山等）．某旅行团带游客来晋中旅游，游客可自由选择人文景观和自然景观中的一处游览．若每位游客选择人文景观的概率是

2

3

，选择自然景观的概率为

1

3

，游客之间选择意愿相互独立．
（1）从游客中随机选取5人，记5人中选择人文景观的人数为X，求X的均值与方差；
（2）现对游客进行问卷调查，若选择人文景观记2分，选择自然景观记1分，记已调查过的累计得分为n分的概率为P_n，求P_n．