已知函数f（x）=xlnx+

4

x

，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 __________．

将直线MN绕原点旋转60°得到直线M′N′，若直线M′N′的斜率1，则直线MN的倾斜角是 __________（结果用角度制表示）．

法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数y=f（x）满足如下条件：（1）在闭区间[a,b]上是连续不断的；（2）在区间（a,b）上都有导数．则在区间（a,b）上至少存在一个数ξ，使得f（b）-f（a）=f'（ξ）（b-a），其中ξ称为拉格朗日中值．则g（x）=lnx在区间[1，e]上的拉格朗日中值ξ=__________．

已知函数f（x）=xsinx,给出下列四个结论：
①π是f（x）的一个零点；
②f（x）在[-

π

2

，

π

2

]上单调递增；
③f（x）在（0，π）上有最大值；
④存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x都成立．
其中所有正确结论的序号是 __________．

在等比数列{a_n}中，a₂=-2，a₆=-8，则a₄=__________．

已知函数f(x)=

1

3

ax3+x，函数g（x）=e^x-2x+sinx.
（1）求函数g（x）的单调区间；
（2）记F（x）=g（x）-f′（x），对任意的x≥0，F（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=e^x-1+bxlnx+ax²．
（1）当b=1，a=-1时，讨论g(x)=

f(x)

x

的单调性；
（2）当b=-1时，是否存在实数a,使f（x）≥ax+1恒成立？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．

已知抛物线C₁：y²=4x-4与双曲线C₂：

x2

a2

-

y2

4-a2

=1（1＜a＜2）相交于两点A，B，F是C₂的右焦点，直线AF分别交C₁，C₂于C，D（不同于A，B点），直线BC，BD分别交x轴于P，Q两点．
（1）设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），求证：y₁y₂是定值；
（2）求

|FQ|

|FP|

的取值范围．

已知函数f(x)=

a

x2

+

lnx

x

．
（1）若f（x）在[

1

e

，e]单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若g（x）=xf（x），且g（x₁）=g（x₂）=3（x₁≠x₂），证明：a2＜x1x2＜ae2．

已知动圆过定点M（1，0），且与直线x=-1相切．
（1）求动圆圆心轨迹C的方程；
（2）设过点M的直线l交轨迹C于A，B两点，已知点N（2，0），直线AN，BN分别交轨迹C于另一个点P，Q．若直线AB和PQ的斜率分别为k₁，k₂．
（ⅰ）证明：k₁=2k₂；
（ⅱ）设直线QA，PB的交点为T，求线段MT长度的最小值．