已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的长轴长为4，上顶点P到直线l：x+2y-6=0的距离为

4 5

5

．
（1）求E的方程；
（2）直线y=kx+

1

2

（k＞0）与E交于A，B两点，直线PA，PB分别交直线l于C，D两点，求|CD|的最小值．

已知函数f(x)=x2(lnx-

3

2

a)，a为实数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在x=e处取得极值，f'（x）是函数f（x）的导函数，且f'（x₁）=f'（x₂），x₁＜x₂，证明：2＜x₁+x₂＜e.

已知函数f（x）=e^x+2e^-x+a与g（x）=x²-x+1的图象有公切线y=mx+1．
（1）求实数m和a的值；
（2）若ex1+ex2=3，且f（x₁）•f（x₂）≥3（x₁+x₂+k），求实数k的最大值．

已知函数f（x）=（x-1）e^x-ax²．
（Ⅰ）当a=

e2

2

时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）+（2-x）e^x≥（2-a）x+a在[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=e^x-x+1．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）的极值．

已知函数f（x）=ae^x+ln（x+1），其中a∈R，若f（x）有两个零点x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（1）设x₀为函数f（x）的一个极值点，求证：x0＞

1

2

；
（2）求证：x2-x1＜2

1 a2 + 2 a -1

．

设函数f（x）=x³+ln（x+1）．
（1）求曲线y=f（x）在（0，0）处的切线方程；
（2）证明：当x≥0时，x³+ln（x+1）≥x²恒成立；
（3）证明：当n∈N^*且n≥2时，ln(n+1)＞

1

8

+

2

27

+…+

n-1

n3

．

已知函数f（x）=2ax-2lnx.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若函数g（x）=x-2，都有g（x）≤f（x），求a的取值范围．

已知函数f（x）=k^x，g（x）=klnx,h（x）=kx-1（k＞0，k≠1）．
（1）求曲线y=f（x）-g（x）在x=1处的切线方程；
（2）求使得f（x）≥h（x）≥g（x）在x∈（0，+∞）上恒成立的k的最小整数值．

万众瞩目的“第二十届上海汽车工业展览会”于2023年4月18日在国家会展中心开幕，新能源车倍受关注，其中百万级国产豪华SUV比亚迪仰望U8最为夺目，车辆爱好者纷纷下单预定．比亚迪公司快速启动生产线进行试产，试产期间同步进行车辆检测，检测包括智能检测与人工抽检．智能检测在生产线上自动完成，包含安全检测、电池检测，性能检测等三项指标，人工抽检仅对智能检测三项指标均达标的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标，四项指标均达标的产品才能视为合格品．已知试产期的车辆，智能检测三项指标的达标率为

99

100

，

98

99

，

97

98

，设人工抽检的综合指标不达标率为p（0＜p＜1）．
（1）求一辆汽车智能检测不达标的概率；
（2）人工抽检30辆汽车，记恰有1辆不达标的概率为φ（p），求φ（p）的极大值点p₀；
（3）若车辆的合格率不超过96%，则需对生产工序进行改良．以（2）中确定的p₀作为p的值，判断比亚迪公司是否需要对生产工序进行改良．