已知椭圆W：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₂且垂直于x轴的直线被椭圆W所截得的线段长为2

2

．
（1）求椭圆W的方程；
（2）直线y=kx（k≠0）与椭圆W交于A，B两点，连接AF₁并交椭圆W于另一点C，若△ABC的面积为

12 2

5

，求直线AC的方程．

已知A（-1，0），B（1，0），直线AM，BM相交于M，且直线AM，BM的斜率之积为2．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）设P，Q是点M轨迹上不同的两点且都在y轴的右侧，直线AP，BQ在y轴上的截距之比为1：2，求证：直线PQ经过一个定点，并求出该定点坐标．

已知动圆过点F（0，1），且与直线l：y=-1相切，设动圆圆心D的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过l上一点P作曲线C的两条切线PA，PB，A，B为切点，PA，PB与x轴分别交于M，N两点．记△AFM，△PMN，△BFN的面积分别为S₁、S₂、S₃．
（ⅰ）证明：四边形FNPM为平行四边形；
（ⅱ）求

S 2 2

S1S3

的值．

如图，A、F是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左顶点和右焦点，P是C上在第一象限内的点．
（1）若P(1，

3

2

)，FP⊥x轴，求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的离心率为e(

1

2

＜e＜1)，

PA

•

PF

=0，求直线PA的倾斜角θ的正弦．

已知函数f（x）=-x²+ax-ln（x+1）．
（1）若a=1，求函数f（x）的极值点．
（2）若函数f（x）既存在极大值又存在极小值，求实数a的取值范围．

如图：双曲线Γ：

x2

3

-y2=1的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₂作直线l交y轴于点Q．
（1）当直线l平行于Γ的一条渐近线时，求点F₁到直线l的距离；
（2）当直线l的斜率为1时，在Γ的右支上是否存在点P，满足

F1P

•

F1Q

=0？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．

已知函数f（x）=e^x-a（x²+x）-1，x∈（0，+∞）．
（1）若a=0，证明：f（x）＞sinx.
（2）若a=1，且f（m）=f′（n）=0，证明：m＜2n.

已知动点T为平面内一点，O为坐标原点，T到点F（1，0）的距离比点T到y轴的距离大1，设点T的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）设直线l：x=-1，过F的直线与C交于A，B两点，线段AB的中点为M，过M且与y轴垂直的直线依次交直线OA，OB，l于点N，P，Q，直线OB与l交于点E．记△AMN的面积为S₁，△EPQ的面积为S₂，判断S₁，S₂的大小关系，并证明你的结论．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦距为2，且经过点E(1，

3

2

)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C内接四边形MNQP的对角线交于点T（1，1），满足

|MT|

|TQ|

=

|NT|

|TP|

=3，试问：直线MN的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

已知椭圆：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

2

，F₁、F₂分别是其左、右焦点，若P是椭圆上的右顶点，且

PF1

⋅

PF2

=1．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线x=ky-1与椭圆交于A、B两点，点A关于x.轴的对称点为M（M与B不重合），问直线MB与x轴是否交于一个定点？若是，请写出该定点的坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．