第31届世界大学生夏季运动会将于今年在我国成都举行．某体校田径队正在积极备战，考核设有100米、400米和1500米三个项目，需要选手依次完成考核，成绩合格后的积分分别记为p₁，p₂和p₃（p_i＞0，i=1，2，3），总成绩为累计积分和．考核规定：项目考核逐级进价，即选手只有在低一级里程项目考核合格后，才能进行下一级较高里程项目的考核，否则考核终止．对于100米和400米项目，每个项目选手必须考核2次，且全部达标才算合格；对于1500米项目，选手必须考核3次，但只要达标2次及以上就算合格．已知选手甲三个项目的达标率依次

4

5

，

3

4

，

2

3

，选手乙三个项目的达标率依次为

4

5

，

5

8

，

3

4

，每次考核是否达标相互独立．
（1）用ξ表示选手甲考核积分的总成绩，求ξ的分布列和数学期望；
（2）证明：无论p₁，p₂和p₃取何值，选手甲考核积分总成绩的数学期望值都大于选手乙考核积分总成绩的数学期望值．

2020年全面建成小康社会取得伟大历史成就，决战脱贫攻坚取得决定性胜利．某市积极探索区域特色经济，引导商家利用多媒体的优势，对本地特产进行广告宣传，取得了社会效益和经济效益的双丰收，某商家统计了7个月的月广告投入x（单位：万元）与月销量y（单位：万件）的数据如表所示：

月广告投入x/万元	1	2	3	4	5	6	7
月销量y/万件	28	32	35	45	49	52	60

（1）已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明，并求y关于x的线性回归方程；
（2）根据（1）的结论，预计月广告投入大于多少万元时，月销量能突破70万件．（本题结果均按四舍五入精确到小数点后两位）

某条街边有A，B两个生意火爆的早餐店，A店主卖胡辣汤、油条等，B店主卖煎饼果子、豆浆等，小明为了解附近群众的早餐饮食习惯与年龄的关系，随机调查了200名到这两个早餐店就餐的顾客，统计数据如下：

	A店	B店
年龄50岁及以上	40	60
年龄50岁以下	10	90

（Ⅰ）判断是否有99%的把握认为附近群众的早餐饮食习惯与年龄有关．
（Ⅱ）某天有3名顾客到这两个早餐店就餐（每人只选一家），他们选择A店的概率分别为

1

3

，

3

5

，m（0＜m＜1），且他们的选择相互独立．设3人中到A店就餐的人数为X，到B店就餐的人数为Y，若E（X）＞E（Y），求m的取值范围．
附：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

．

P（K2≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面BB₁C₁C是边长为1的正方形，平面BB₁C₁C⊥平面AA₁B₁B，AB=4，∠A₁B₁B=60°，G是A₁B₁的中点．
（1）求证：平面GBC⊥平面BB₁C₁C；
（2）在线段BC上是否存在一点P，使得二面角P-GB₁-B的平面角为30°？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由．

投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏，投壶礼来源于射礼．投壶的横截面是三个圆形，投掷者站在距离投壶一定距离的远处将箭羽投向三个圆形的壶口，若箭羽投进三个圆形壶口之一就算投中．为弘扬中华传统文化，某次文化活动进行了投壶比赛，比赛规定投进中间较大圆形壶口得3分，投进左右两个小圆形壶口得1分，没有投进壶口不得分．甲乙两人进行投壶比赛，比赛分为若干轮，每轮每人投一支箭羽，最后将各轮所得分数相加即为该人的比赛得分，比赛得分高的人获胜．已知甲每轮投一支箭羽进入中间大壶口的概率为

1

3

，投进入左右两个小壶口的概率都是

1

6

，乙每轮投一支箭羽进入中间大壶口的概率为

1

4

，投进入左右两个小壶口的概率分别是

1

5

和

1

6

，甲乙两人每轮是否投中相互独立，且两人各轮之间是否投中也互相独立．若在最后一轮比赛前，甲的总分落后乙1分，设甲最后一轮比赛的得分为X，乙最后一轮比赛的得分为Y．
（1）求甲最后一轮结束后赢得比赛的概率；
（2）求|X-Y|的数学期望．

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠PAB=∠PCD=

π

2

，侧面PAB⊥底面ABCD，PA=AB=2，且二面角P-CD-A的大小是

π

4

．
（1）证明：AC⊥CD；
（2）求二面角B-PC-D的正弦值．

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱长均为6，D为AA₁的中点，E为BC上一点，
（1）若CE=2，证明：DC∥平面AB₁E；
（2）当直线BD与平面B₁ED所成角的正弦值为

15

10

，求CE的长度．

如图，在圆台OO₁中，A₁B₁，AB分别为上、下底面圆的直径，且A₁B₁∥AB，AB=3A₁B₁，CC₁为异于AA₁，BB₁的一条母线，点M在线段AC上，且AM=

1

3

AC．
（1）求证：C₁M∥平面ABB₁A₁；
（2）若OO₁=4，AB=4，∠ABC=30°，求二面角A-CC₁-O的正弦值．

如图，PO是四棱锥P-ABCD的高，且PO=2，底面ABCD是边长为

2

的正方形，PA=PD=

5

，点M是BC的中点．
（1）设AD与OM交于E，求线段OE的长度；
（2）求二面角A-PM-O的余弦值．

2020年，教育部启动实施强基计划．强基计划聚焦国家重大战略需求，突出基础学科的支撑引领作用．三年来，强基计划共录取新生1.8万余人．为响应国家号召，某校2022年7月成立了“强基培优”拓展培训班，从高一入校时中考数学成绩前100名的学生中选取了50名对数学学科研究有志向、有兴趣、有天赋的学生进行拓展培训．为了解数学“强基培优”拓展培训的效果，在高二时举办了一次数学竞赛，这100名学生的成绩（满分为150分）情况如表所示．

	成绩不低于135分	成绩低于135分	总计
参加过培训	40	10	50
未参加过培训	20	30	50
总计	60	40	100

（1）能否有99%的把握认为学生的数学竞赛成绩与是否参加“强基培优”拓展培训有关？
（2）从成绩不低于135分的这60名学生中，按是否参加过“强基培优”拓展培训采用分层抽样，随机抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人代表学校参加区里的数学素养大赛，求这2人中至少有一人未参加过培训的概率．
参考公式：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.001
k0	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828