已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为1，M是A₁C₁上一点，且A₁M=2MC₁.经过点M作平面α截正方体的外接球，则截得的截面面积的最小值为 __________．

如图，一个密闭容器水平放置，圆柱底面直径为2，高为10，圆锥母线长为2，里面有一个半径为1的小球来回滚动，则小球无法碰触到的空间部分的体积为 __________．

已知圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的侧面积为 __________．

“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓．《九章算术•商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”，即一个长方体沿对角线斜解（图1）．得到一模一样的两个堑堵，再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱堆称为鳖臑（图4）记该长方体斜解所得到的阳马和鳖臑的体积分别为V₁，V₂，则V₁：V₂=__________．

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是A₁B₁的中点，平面ACE将正方体分成体积分别为V₁，V₂（V₁≤V₂）的两部分，则

V1

V2

=__________．

近年我国基础研究和原始创新不断加强，一些关键核心技术实现突破，载人航天、探月探火、深海深地探测、超级计算机、卫星导航、量子信息等都取得重大成果．如图正方体为制作某深海探测器零件的新型材料，其棱长为2厘米，制作中要用与正方体内切球相切的平面去裁切正方体的一个角，要求截面为正三角形．若正方体八个角都做这样的裁切，则所剩几何体体积为 __________cm³．

如图，圆台O₁O₂中，O1O2=

5

，其外接球的球心O在线段O₁O₂上，上下底面的半径分别为r₁=1，r2=

3

，则圆台外接球的表面积为 __________．

多面体E-ABCD的各顶点在半径为2的球面上，ABCD是矩形，AB=3，AD=2，则多面体体积的最大值为 __________．

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，若空间中的动点P满足

AP

=λ

AB

+μ

AD

+ν

AA1

，λ，μ，ν∈[0，1]，则下列命题正确的是 __________．（请用正确命题的序号作答）
①若λ=μ=ν=

1

2

，则点P到平面AB₁C的距离为

2 3

3

；
②若λ=μ=ν=

1

2

，则二面角P-AB-C的平面角为

π

4

；
③若λ+μ+ν=

1

2

，则三棱锥P-BDA₁的体积为2；
④若λ+μ-ν=

1

2

，则点P的轨迹构成的平面图形的面积为3

3

．

如图为三棱锥A-BCD的平面展开图，其中AC=CD=CB=2，AE⊥BD，垂足为C，则该三棱锥的体积为 __________．