92481 难度：3

已知函数f(x)=ex-

lnx

x

-1．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数g(x)=f(x)-

a

x

有两个零点x₁，x₂（其中x₁＜x₂）．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）若存在实数n,当n≤3时，使不等式m＜x1ex1+nx2ex2恒成立，求实数m的取值范围．

92482 难度：4

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的焦距为2

5

，且双曲线C右支上一动点P（x₀，y₀）到两条渐近线l₁，l₂的距离之积为

4b2

5

．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）设直线l是曲线C在点P（x₀，y₀）处的切线，且l分别交两条渐近线l₁，l₂于M，N两点，O为坐标原点，求△MON的面积．

92483 难度：4

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，O为原点，点P（1，1）在C的渐近线上，△PAO的面积为

1

2

．
（1）求C的方程；
（2）过点P作直线l交C于M，N两点，过点N作x轴的垂线交直线AM于点G，H为NG的中点，证明：直线AH的斜率为定值．

92484 难度：4

已知函数f（x）=（x-1）e^x-alnx的最小值为0．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）证明：e+

e

2

+

3 e

3

+⋯+

2022 e

2022

+

2023 e

2023

＞

2024

2025

ln2025．

92485 难度：4

已知椭圆方程：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，其离心率为e=

2

2

，且P，Q分别是其左顶点和上顶点，坐标原点O到直线PQ的距离为

2 3

3

．
（1）求该椭圆的方程；
（2）已知直线l：y=kx+2交椭圆于A，B两点，双曲线：

x2

4

-

y2

2

=1的右顶点E，EA与EB交双曲线左支于C，D两点，求证：直线CD的斜率为定值，并求出定值．

92486 难度：4

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，A，B分别为椭圆C的上、下顶点，且|AB|=2

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C交于M，N两点（异于点A，B），且△OMN的面积为

2

，过点A作直线AT∥OM，交椭圆C于点T，求证：BT∥ON．

92487 难度：4

已知双曲线C：

x2

4

-

y2

b2

=1(b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，A在双曲线C上，且AF₁⊥x轴，∠AF₂F₁=30°．
（1）求双曲线C的渐近线方程；
（2）设D为双曲线C的右顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以EF为直径的圆经过点D，且DG⊥EF于G，证明：存在定点H，使|GH|为定值．

92488 难度：4

设P是坐标平面xOy上的一点，曲线Γ是函数y=f（x）的图像，若过点P恰能作曲线Γ的k条切线（k∈N），则称P是函数y=f（x）的“k度点”．
（1）已知0＜m＜π，证明：点B（0，π）是g（x）=sinx（0＜x＜m）的0度点；
（2）求函数y=x³-x的全体2度点构成的集合．

92489 难度：4

已知点F（0，1），动点M在直线l：y=-1上，过点M且垂直于x轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点P，记点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的标准方程；
（2）过F的直线与曲线C交于A，B两点，直线OA，OB与圆x²+y²-2y=0的另一个交点分别为D，E，求△DOE与△AOB面积之比的最大值．

92490 难度：4

已知函数f（x）=1-cosx.
（1）证明：f(x)≤

x2

2

；
（2）证明：函数h（x）=aln（x+1）-f（x）（0＜a＜1）在(0，

π

2

)上有唯一零点x₀，且x0＞

4a+1

-1．