某研究机构随机抽取了新近上映的某部影片的200名观众，对他们是否喜欢这部影片进行了调查，得到如下数据（单位：人）：

	男性	女性	合计
喜欢	15	30	45
不喜欢	85	70	155
合计	100	100	200

根据上述信息，解决下列问题：
（1）根据小概率值x=0.05的独立性检验，分析观众喜欢该影片与观众的性别是否有关；
（2）现从被调查的200名观众中，随机依次抽取2人作为幸运观众（注：第一次先从200名观众中随机抽取1名，第二次再从剩下的199名观众中随机抽取1名）．求在第一次抽到的是喜欢该影片的观众的条件下，第二次抽到的是不喜欢该影片的观众的概率．
附：χ²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+d)(a+d)

，其中n=a+b+c+d.

α	0.15	0.10	0.05	0.010	0.001
xα	2.072	2.706	3.841	6.635	10.828

2023年中非经贸合作座谈会议在长沙举行，拟在某单位招募5名志愿者，该单位甲、乙、丙三个部门可分别向单位推选3名志愿者以供选拔，每个部门有3个小组，每个小组可向本部门推选2名志愿者供部门选拔，假设每名志愿者入选的机会相等．
（1）求甲部门志愿者入选人数为1人的概率；
（2）求所招募的5名志愿者来自三个部门的概率；
（3）求某小组志愿者入选人数X的分布列及期望．

某工厂车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是

1

4

，且一台机器的故障能由一个维修工处理．已知此厂共有甲，乙，丙3名维修工，现有两种配备方案，方案一：由甲，乙，丙三人维护，每人负责2台机器；方案二：由甲乙两人共同维护6台机器．
（1）对于方案一，设X为甲维护的机器同一时刻发生故障的台数，求X的分布列与数学期望E（X）；
（2）在两种方案下，分别计算机器发生故障时不能得到及时维修的概率，并以此为依据来判断，哪种方案能使工厂的生产效率更高？

某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校8000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．
（1）根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值；
（2）若所有学生的初试成绩X近似服从正态分布N（μ，σ²），其中μ为样本平均数的估计值，σ≈14．初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数；
（3）复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖；答对两道题获得二等奖；答对一道题获得三等奖；全部答错不获奖．已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为a,第三道题答对的概率为b.若他获得一等奖的概率为

1

8

，设他获得二等奖的概率为P，求P的最小值．
附：若随机变昰X服从正态分布N（μ，σ²），则P（μ-σ＜X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）≈0.9973．

某视频UP主采购了8台不同价位的航拍无人机进行测评，并从重量、体积、画质、图传、续航、避障等多方面进行综合评分．以下是价格和对应的评分数据：

价格x/百元	3	6	8	10	14	17	22	32
评分y	43	52	60	71	74	81	89	98

（1）根据以上数据，求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01）．
（2）某网友下周将购买一台X（

X

100

为整数）元的航拍无人机，根据（1）中的回归方程，对即将购买的航拍无人机进行预测评分．设预测评分为Y，若Y精确到整数的值为92，求X的最大值．
附：对于一组数据（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n），其回归直线

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

的斜率和截距的最小二乘法估计分别为

̂

b

=

n i=1 xiyi-n x y

n i=1 (xi- x )2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

．
参考数据：

8

i=1

xiyi=9138，

8

i=1

(xi-

x

)2=634．

为巩固拓展脱贫攻坚成果，全面推进乡村振兴，在国家产业扶贫政策的大力支持下，某贫困村利用当地自然条件，在南、北两山上种植苹果，现已开始大量结果，苹果成熟时，将苹果分为“一级”“二级”“三级”，价格从高到低，有一水果商人要收购这里的苹果，收购前，将南山和北山上的苹果各随机摘取了200千克，按等级分开后得到的数据为：南山上的“一级”苹果40千克，“二级”苹果150千克；南、北山上的“三级”苹果共40千克；北山上的“一级”苹果50千克．（假设两山上的苹果总产量相同，以样本的频率估计概率）
（1）若种植苹果的成本为5元/千克，苹果收购价格如下表：

等级	“一级”	“二级”	“三级”
价格（元/千克）	12	8	1

①分别计算南山和北山各随机摘取的200千克苹果的平均利润；
②若按个数计算，“一级”苹果平均每千克有3个，“二级”苹果平均每千克有4个，“三级”苹果平均每千克有6个，以此计算该村南山上的200千克苹果的个数，并按各等级苹果个数以分层抽样的方式从中抽取13个苹果，分别放在13个外形完全一样的包装内，水果商人在这13个苹果中随机取2个，求恰有1个“三级”苹果的概率．
（2）判断能否有99%的把握认为“三级”苹果的多少与南、北山有关．
附：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，n=a+b+c+d．

P（K2≥k₀）	0.1	0.05	0.01	0.005
k₀	2.706	3.841	6.635	7.879

现有4个红球和4个黄球，将其分配到甲、乙两个盒子中，每个盒子中4个球．
（1）求甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率．
（2）已知甲盒子中有3个红球和1个黄球，若同时从甲、乙两个盒子中取出i（i=1，2，3）个球进行交换，记交换后甲盒子中的红球个数为X，X的数学期望为E_i（X）．证明：E₁（X）+E₃（X）=4．

随着生活水平的提高，人们对水果的需求量越来越大，为了满足消费者的需求，精品水果店也在大街小巷遍地开花.4月份的“湖南沃柑”因果肉滑嫩，皮薄汁多，口感甜软，低酸爽口深受市民的喜爱．某“闹闹”水果店对某品种的“湖南沃柑”进行试销，得到一组销售数据，如下表所示：

试销单价x（元）	3	4	5	6	7
产品销量y件	20	16	15	12	6

（1）经计算相关系数r≈-0.97，变量x,y线性相关程度很高，求y关于x的经验回归方程；
（2）用（1）中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于1.2时，称该对数据为一个“次数据”，现从这5个成对数据中任取3个做残差分析，求取到的数据中“次数据”个数X的分布列和数学期望．
参考公式：线性回归方程中

̂

b

，

̂

a

的最小二乘法估计分别为

̂

b

=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

．

在锐角三角形ABC，a,b,c分别为内角A，B，C所对的边长，

b

a

+

a

b

=6cosC，则

tanC

tanA

+

tanC

tanB

=（　　）

△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c,A=60°，a=

3

，若这个三角形有两解，则b的取值范围是（　　）