“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长．某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）
步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；
步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F；
步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤4：不断重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．则这些折痕所围成的图形是一个椭圆．
现取半径为4

2

的圆形纸片，定点F到圆心E的距离为2

6

，按上述方法折纸．以向量

FE

的方向为x轴正方向，线段EF中点为原点建立平面直角坐标系．
（1）求折痕围成的椭圆Γ的标准方程；
（2）已知点M是圆x²+y²=10上任意一点，过点M做椭圆Γ的两条切线，切点分别是A，B，求△MAB面积的最大值，并确定此时点M的坐标．
注：椭圆：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上任意一点P（x₀，y₀）处的切线方程是：

x0x

a2

+

y0y

b2

=1．

设f(x)=

x

ex

(x∈R)．
（1）求f（x）的单调性，并求f（x）在x=

1

2

处的切线方程；
（2）若（ex）•f（x）≤k⋅（lnx+1）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的取值范围．

已知函数f（x）=alnx-x²．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若函数g（x）=f（x）+（2-a）x恰有两个零点，求实数a的取值范围．

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，平面PAD⊥平面ABCD，∠BAD=60°，AD=2AB，PA=PD．O，E分别是AD，BC中点．
（1）证明：平面PBD⊥平面POE；
（2）若AB=2，PA=2

5

，求平面POE与平面PCD所成锐二面角的余弦值．

2022年二十国集团领导人第十七次峰会11月16日在印度尼西亚巴厘岛闭幕，峰会通过《二十国集团领导人巴厘岛峰会宣言》．宣言说，值此全球经济关键时刻，二十国集团采取切实、精准、迅速和必要的行动至关重要，基于主席国印尼提出的“共同复苏、强劲复苏”主题，各国将采取协调行动，推进强劲、包容、韧性的全球复苏以及创造就业和增长的可持续发展、中国采取负责任的态度，积极推动产业的可持续发展，并对友好国家进行技术授助、非洲某芯片企业生产芯片Ⅰ有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．
（1）在中国企业援助前，该芯片企业生产芯片Ⅰ的前三道工序的次品率分为P₁=

1

50

，P₂=

1

49

，P₃=

1

48

．
①求生产该芯片I的前三道工序的次品率P_I；
②第四道工序中，智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验．已知芯片Ⅰ智能自动检测显示合格率为98%，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片，该芯片恰为合格品的概率．
（2）该芯片企业在中国企业援助下，改进生产工艺并生产了芯片Ⅱ．某手机生产厂商获得芯片Ⅰ与芯片Ⅱ，并在某款新型手机上使用．现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查，据统计，回访的100名用户中，安装芯片Ⅰ的有40部，其中对开机速度满意的占70%；安装芯片Ⅱ的有60部，其中对开机速度满意的占

14

15

．现采用分层抽样的方法从开机速度满意的人群中抽取9人，再从这9人中选取4人进行座谈，记抽到对安装芯片Ⅱ的手机开机速度满意的人数为X，求X的分布列及其数学期望．

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2AD=2，PA⊥平面ABCD，E为PD中点．
（1）若PA=1．
（i）求证：AE⊥平面PCD；
（ii）求直线BE与平面PCD所成角的正弦值；
（2）若平面BCE与平面CED夹角的正弦值为

21

5

，求PA．

某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到其频数分布图（如图所示）．若将这100台机器在三年内更换的易损零件数的频率视为1台机器在三年内百换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（1）求X的分布；
（2）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=17与n=18之中选其一，应选用哪个？并说明理由．

2022年11月，《2021年全国未成年人互联网使用情况研究报告》发布．报告显示，2021年我国未成年网民规模达1.91亿，未成年人互联网普及率达96.8%．互联网已成为未成年人学习，娱乐，社交的重要工具．但与此同时，约两成的未成年网民认为自己对互联网存在不同程度的依赖．某中学为了解学生对互联网的依赖情况，决定在高一年级采取如下“随机回答问题”的方式进行问卷调查：
一个袋子中装有5个大小相同的小球，其中2个黑球，3个红球．所有学生从袋子中有放回地随机摸两次，每次摸出一球．约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式①回答问卷，否则按方式②回答问卷”
方式①：若第一次摸到的是红球，则在问卷中画“√”，否则画“×”；
方式②：若你对互联网有依赖，则在问卷中画“√”，否则画“×”．
当所有学生完成问卷调查后，统计画“√”，画“×”的比例．用频率估计概率，由所学概率知识即可求得高一年级学生对互联网依赖情况的估计值．
（依赖率=

对互联网有依赖的学生人数

高一所有学生人数

×100%）
（1）若高一（五）班有50名学生，用X表示其中按方式①回答问卷的人数，求X的数学期望；
（2）若所有调查问卷中，画“√”与画“×”的比例为1：2，试估计该中学高一年级学生对互联网的依赖率．（结果保留两位有效数字）

有人搜集了某城市近10年居民年收入x亿元（所有居民在一年内收入的总和）与A商品销售额y万元的数据，并计算得

10

i=1

（x-

x

）²=15²，

10

i=1

（y₁-

y

）²=25²，

10

i=1

x_i=380，

10

i=1

y_i=390，建立商品销售额关于居民年收入一元线性回归模型，由公式计算得y与x的经验回归方程为

̂

y

=1.56x+

̂

a

．
（1）求a和相关系数r的值，并根据r的值判断城市居民年收入与A商品销售额的相关性强弱（0.75≤|r|≤1则认为y与x相关性很强，否则不强）
（2）2022年从该城市随机抽取1000户进行调查，家庭收入情况和购买A商品户数数据统计如下表

收入情况	中等及以下收入	高收入
居民户数	800	200
购买A商品居民户数	400	150

以抽取的1000户中不同层次收入的家庭购买A商品的频率估计相应收入家庭购买A商品的概率，且各户居民是否购买A商品互不影响，在该1000户中按家庭收入分层，用分层随机抽样方法从这1000户中抽取5户，这5户居民中有z户居民购买A商品，求z的分布列及期望．
附：

̂

b

=

n i=1 xiyi-n x y

n i=1 xi2-n x 2

=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

，相关系数r=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2 n i=1 (yi- y )2

．

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为

3

2

，侧面ACC₁A₁是矩形，CA⊥CB，AB=AA₁=2AC=2，且已知二面角A₁-AC-B是钝角．
（1）求A₁B的长度；
（2）求二面角A-B₁C₁-A₁的大小．