已知函数f(x)=x+

1

x

-(lnx)2．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）证明不等式

n

k=1

1

2k•(2k+1)

＞ln

2n+1

2n+1

(n∈N*)．

已知A₁，A₂分别是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上顶点，右顶点，左、右焦点分别为F₁，F₂，F₁到直线A₁A₂的距离为

2 5 + 15

5

，且F₁到直线A₁A₂的距离与F₂到直线A₁A₂的距离之比为7+4

3

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l与椭圆C交于A，B两个不同的点，O为坐标原点，若满足

OM

=

OA

+

OB

的点M正好在椭圆C上，求△OAB的面积．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右顶点为A₁，A₂，点G是椭圆C的上顶点，直线A₂G与圆x²+y²=

8

3

相切，且椭圆C的离心率为

2

2

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点Q在椭圆C上，过左焦点F₁的直线l与椭圆C交于A，B两点（A，B不在x轴上）且

OQ

•

AB

=0，（O为坐标原点），求

2 2 |AB|

|OQ|2

的取值范围．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点分别是F₁，F₂，|F₁F₂|=4，点P为椭圆短轴的端点，且△PF₁F₂的面积为4，过左焦点F₁的直线l与椭圆C交于A，B两点（A，B不在x轴上）．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点Q在椭圆C上，且

OQ

•

AB

=0（O为坐标原点），求

2 2 |AB|

|OQ|2

的取值范围．

设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，O为坐标原点，椭圆C的离心率为

3

2

．
（1）若椭圆C的上顶点为W，且△WF₁F₂的面积为9

3

，求椭圆C的标准方程；
（2）设过椭圆C的内部点P（1，0）且斜率为k（0＜k≤

3

2

）的直线l交C于M，N两点，若椭圆C上存在点Q，使得

OM

+

ON

=

OQ

，求b的最大值．

已知函数f（x）=2x-alnx.
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若f(x)≥2a-

1

2

a2，求a的取值范围．

已知函数f（x）=lnx+x²-ax.
（1）若f（x）在(

1

2

，2)上既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围；
（2）若直线y=x-a与曲线y=f(x)(x＞

2

2

)相切，求实数a的值．

已知A（-2，0），B（2，0），动点Q（x,y）关于x轴的对称点为Q₁，直线AQ与BQ₁的斜率之积为-

1

4

．
（1）求点Q的轨迹C的方程；
（2）设点P是直线x=1上的动点，直线PA，PB分别与曲线C交于不同于A，B的点M，N，过点B作MN的垂线，垂足为D，求|AD|最大时点P的纵坐标．

已知a＞0，函数f（x）=xlnx-a和g（x）=xe^x-a.
（1）证明：函数f（x）恰有一个零点；
（2）证明：函数g（x）恰有一个零点；
（3）设函数f（x）的零点为x₁，函数g（x）的零点为x₂，证明：x₁x₂=a.

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，焦距为2

3

，过F₁的直线m与椭圆C相交于A，B两点，且△ABF₂的周长为8．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点G（1，0）的动直线n与椭圆C相交于M，N两点，直线l的方程为x=4．过点M作MP⊥l于点P，过点N作NQ⊥l于点Q．记△GPQ，△GPM，△GQN的面积分别为S，S₁，S₂．问是否存在实数λ，使得λ

S1⋅S2

-S=0成立？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．