如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AB=AC，

AM

=2

MC

，

C1N

=2

NA1

．
（1）证明：B₁C∥平面BMN；
（2）若BC=

3

AB，求二面角B-MN-A的余弦值．

在三棱锥P-ABC中，∠ABC=90°，PA⊥平面ABC．
（1）证明：平面PBC⊥平面PAB；
（2）若PA=AB=BC，点E，F分别在线段PB，PC上，且

PC

=3

PF

，

PE

=2

EB

，求平面AEF与平面ABC夹角的余弦值．

如图，△ABC是圆柱底面的内接三角形，PA为圆柱的母线，其中∠ACB=

π

3

，圆柱的母线和其底面圆直径的长都为2．
（1）当AB⊥PC时，证明：AC⊥PB；
（2）当三棱倠P-ABC体积最大值时，求平面PAC与平面PBC夹角的余弦值．

“城市公交”泛指城市范围内定线运营的公共汽车及轨道交通等交通方式，也是人们日常出行的主要方式．某城市的公交公司为了方便市民出行，科学规划车辆投放，在一个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车间隔时间x与乘客等候人数y之间的关系，经过调查得到如下数据：

间隔时间（x分钟）	6	8	10	12	14
等候人数（y人）	15	18	20	24	23

（1）根据以上数据作出折线图，易知可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立y关于x的回归直线方程，并预测车辆发车间隔时间为20分钟时乘客的等候人数．
附：对于一组数据（x₁，y₁），（x₂，y₂），…（x_n，y_n），其回归直线

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

的斜率和截距的最小二乘估计分别为

̂

b

=

n i=1 xiyi-n x y

n i=1 x 2 i -n x 2

=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

；相关系数r=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2 n i=1 (yi- y )2

；3

15

≈11.62．

甲、乙两个学校分别有n+1位同学和n位同学参加某项活动，假定所有同学成功的概率都是

1

2

，所有同学是否成功互不影响．记事件A=“甲成功次数比乙成功次数多一次”，事件B=“甲成功次数等于乙成功次数”．
（1）若n=3，求事件A发生的条件下，恰有5位同学成功的概率；
（2）证明：P（A）=P（B）．

如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，AC与BD相交于点O，PA=PC，PB=PD，∠BAD=60°，AB=2，M为线段PD的中点．
（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（2）若直线OM与平面ABCD所成角为60°，求平面PAD与平面PBC所成的二面角的正弦值．

图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2．

（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
（2）求图2中的直线CE与平面ACG所成角的正弦值．

两个安全设备间由一组对接码进行“握手”连接，对接码是一个由“1，2，3，4”4个数字组成的六位数，每个数字至少出现一次．
（1）求满足条件的对接码的个数；
（2）若对接密码中数字1出现的次数为X，求X的分布列和数学期望．

如图，等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=

1

2

DC=2，∠D=60°，E为DC中点，以AE为折痕把△ADE折起，使得点D到达点P的位置，且二面角P-AE-C的余弦值为

1

3

．
（1）证明：BE⊥PA；
（2）求直线PE与平面PBC所成的角．

在△ABC中，∠ACB=45°，BC=3，过点A作AD⊥BC，交线段BC于点D（如图1），沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2），点E，M分别为棱BC，AC的中点．
（1）求证：CD⊥ME；
（2）当三棱锥A-BCD的体积最大时，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求二面角M-BN-C的余弦值．