如图所示的几何体是一个半圆柱，点P是半圆弧

AD

上一动点（点P与点A，D不重合），AB=AD=4．
（1）证明：DP⊥PB；
（2）若点P在平面ABCD的射影为点H，设

AD

的中点为E点，当点P运动到某个位置时，平面PBD与平面CDE的夹角为45°，求此时DH的长度．

生命在于运动，小鑫给自己制定了周一到周六的运动计划，这六天每天安排一项运动，其中有两天练习瑜伽，另外四天的运动项目互不相同，且运动项目为跑步、爬山、打羽毛球和游泳，请思考并完成下列问题（结果用数值表示）：
（1）若瑜伽被安排在周一和周六，共有多少种不同的安排方法？
（2）若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，共有多少种不同的安排方法？
（3）若瑜伽不被安排在相邻的两天，共有多少种不同的安排方法？

基础学科招生改革试点，即强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．聚焦高端芯片与软件、智能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域．某校在一次强基计划模拟考试后，从全体考生中随机抽取52名，获取他们本次考试的数学成绩（x）和物理成绩（y），绘制成如图散点图：根据散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A，B．经调查得知，A考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B考生因故未能参加物理考试，为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：

50

i=1

xi=5800，

50

i=1

yi=3900，

50

i=1

xiyi=462770，

50

i=1

(xi-

x

)2=28540，

50

i=1

(yi-

y

)2=18930，其中x_i，y_i分别表示这50名考生的数学成绩、物理成绩，i=1，2，…，50，y与x的相关系数r≈0.45．

（1）若不剔除A，B两名考生的数据，用52组数据作回归分析，设此时y与x的相关系数为r₀.试判断r₀与r的大小关系（不必说明理由）；
（2）求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01），并估计如果B考生加了这次物理考试，物理成绩是多少？（精确到0.1）

如图，在四棱锥p-ABCD中，AB||CD，AB⊥AP，AB=3，AD=4，BC=5，CD=6，过AB的平面α分别交线段PD，PC于E，F．
（1）求证：PD⊥EF；
（2）若直线PC与平面PAD所成角为

π

3

，PA=PD，EF=AB，求平面ABD和平面BDF夹角的余弦值．

在如图①所示的长方形ABCD中，AB=3，AD=2，E是DC上的点且满足DC=3EC，现将三角形ADE沿AE翻折至平面APE⊥平面ABCD（如图②），设平面PAE与平面PBC的交线为l.
（1）求二面角B-l-A的余弦值；
（2）求l与平面ABCE所成角的正弦值．

设实数m≠0．对任意给定的实数x,都有（3+mx）⁹⁹=a₀+a₁x+a₂x²+⋯+a₉₉x⁹⁹．
（1）当m=1时，求a₉₇+a₉₈的值；
（2）若m是整数，且满足6＜

a5

a4

＜7成立，求a₀+a₁+a₂+⋯+a₉₉的值；
（3）当m∈（12，13）时，根据m的取值，讨论（3+mx）⁹⁹的二项展开式中系数最大的项是第几项．

习近平总书记在党史学习教育动员大会上强调：“回望过往的奋斗路，眺望前方的奋进路，必须把党的历史学习好、总结好，把党的成功经验传承好、发扬好．”为庆祝建党100周年，某市积极开展“青春心向党，建功新时代”系列主题活动．该市某中学为了解学生对党史的认知情况，举行了一次党史知识竞赛，全校高一和高二共选拔100名学生参加，其中高一年级50人，高二年级50人．并规定将分数不低于135分的得分者称为“党史学习之星”，这100名学生的成绩（满分为150分）情况如表所示．

	获得“党史学习之星”	未获得“党史学习之星”	总计
高一年级	40	10	50
高二年级	20	30	50
总计	60	40	100

（1）能否有99%的把握认为学生获得“党史学习之星”与年级有关？
（2）获得“党史学习之星”的这60名学生中，按高一和高二年级采用分层抽样，随机抽取了6人，再从这6人中随机抽取2人代表学校参加区里的党史知识竞赛，求这2人中至少有一人是高二年级的概率．
参考公式：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.001
k0	2.706	3.84	5.024	6.635	10.828

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，平行四边形ABCD中△ABC是正三角形，AC=2，M是PC上任意一点．
（1）求证：BD⊥AM；
（2）已知二面角B-PC-A的余弦值为

5

5

，若M为PC的中点，求DM与平面PBC所成角的正弦值．

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC=120°，AB=1，BC=2，PD⊥CD．
（1）证明：AB⊥PB；
（2）若平面PAB⊥平面PCD，且PA=

10

2

，求直线AC与平面PBC所成角的正弦值．

下列选项中，与sin(-

2023π

6

)的值相等的是（　　）