设p：实数x满足x²+3a²＜4ax（a＞0），q：实数x满足

2

4-x

≥1．
（1）若q为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

设函数f（x）=lg（x²-1）的定义域为集合A，g(x)=

4x+a-2

的定义域为集合B．
（1）当a=1时，求（∁_RA）∩B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取值范围．

已知f（x）=ax²+（2a+3）x+1-a.
（1）求证：a=0是关于x的方程f（x）=0有解的一个充分条件；
（2）当a＞0时，求关于x的方程f（x）=0有一个正根和一个负根的充要条件．

已知命题：“∀x≥2，不等式x²-x-m＞0”是真命题．
（1）求实数m的取值集合B；
（2）设不等式（x-a）（x-a-1）＜0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

（1）∀x∈R，x²+ax+2a-3＞0，求实数a的取值范围；
（2）∃x∈R，x²+ax+2a-3＜0，求实数a的取值范围．

如图1，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点．将△ADE沿DE折至△PDE（如图2），使得PB=

10

．

（1）证明：平面PDE⊥平面BCDE；
（2）若点M在棱PD上，当MB与平面PDE所成角最大时，求MB的长．

如图，已知四棱锥S-ABCD中，∠DAB=ABC=2∠ABD=90°，△SAB是面积为

3

的等边三角形且SD=2

2

，BC=

1

2

AD．
（1）证明：直线AD⊥SB；
（2）求平面BSA与平面SCD所成角的余弦值．

2022年“五一”期间，为推动消费市场复苏，补贴市民，深圳市各区政府发放各类消费券，其中某区政府发放了市内旅游消费券，该消费券包含A，B，C，D，E，F六个旅游项目，甲、乙、丙、丁四人每人计划从中任选两个不同的项目参加，且他们的选择互不影响．
（1）求甲、乙、丙、丁这四个人中至少有一人选择项目A的概率；
（2）记X为这四个人中选择项目A的人数，求X的分布列及数学期望；
（3）如果将甲、乙、丙、丁四个人改为n个人（n＞4），其他要求相同，问：这n个人中选择项目A的人数最有可能是多少人？

“学习强国”学习平台是由中共中央宣传部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台．2021年4月7日，“学习强国”上线“强国医生”功能，提供智能导诊、疾病自查、疾病百科、健康宣传等多种医疗健康服务，传播普及健康常识、卫生知识，助力健康生活．
（1）为了解“强国医生”的使用次数多少与性别之间的关系，某调查机构调研了200名“强国医生”的使用者得

	男	女	总计
使用次数多	40
使用次数少		30
总计	90		200

根据所给数据完成上述表格，并判断是否有99.9%的把握认为“强国医生”的使用次数与性别有关；
（2）该机构统计了“强国医生”上线7天内每天使用该服务的女性人数，“强国医生”上线的第x天，每天使用“强国医生”的女性人数为y,得到以下数据：

x	1	2	3	4	5	6	7
y	6	11	21	34	66	100	195

通过观察散点图发现样本点集中于某一条曲线y=a⋅b^x的周围，求y关于x的回归方程，并预测“强国医生”上线第12天使用该服务的女性人数．
附：随机变量x2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，n=a+b+c+d.

P（x2≥k0）	0.05	0.025	0.01	0.005	0.001
k0	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828
y	z	7 i=1 xizi	7 i=1 xiyi	100.6
61.9	1.6	51.8	2522	3.98

其中z_i=lgy_i．
参考公式：对于一组数据（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n），其回归直线

̂

y

=

̂

c

+

̂

d

x的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

̂

d

=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2

，

̂

c

=

y

-

̂

d

x

．

2022年冬季奥林匹克运动会主办城市是北京，北京成为第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会以及亚洲运动会三项国际赛事的城市．为迎接冬奥会的到来，某地很多中小学开展了模拟冬奥会
赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如图数据：

（1）“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机选出3所，记X为可作为“基地学校”的学校个数，求X的分布列和数学期望；
（2）在这10所学校中随机选取3所来调查研究，求在抽到学校中恰有一所参与“自由式滑雪”超过40人的条件下，抽到学校中恰有一所学校“单板滑雪”超过30人的概率；
（3）现在有一个“单板滑雪”集训营，对“滑行、转弯、停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试．规定：在一轮测试中，这3个动作中至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”．在集训测试中，小明同学3个动作中每个动作达到“优秀”的概率均为

1

3

，每个动作互不影响且每轮测试互不影响．如果小明同学在集训测试中要想获得“优秀”的次数的平均值达到3次，那么理论上至少要进行多少轮测试？