2023年4月12日是成都七中118周年校庆．为了纪念这一特殊的日子，两校区学生会在全校学生中开展了校庆知识测试，随机抽取了100名学生的测试成绩，按照[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分组，得到如下所示的样本频率分布直方图：

（1）根据频率分布直方图，估计该校学生测试成绩的中位数；
（2）用样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生的成绩，用P（X=k）表示这10名学生中恰有k名学生的成绩在[90，100]上的概率，求P（X=k）取最大值时对应的k的值；
（3）从测试成绩在[90，100]的同学中再次选拔进入复赛的选手，一共有6道题，从中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者才可以进入复赛．现有甲、乙两人参加选拔，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对3道，且甲、乙两人各题是否答对相互独立．记甲、乙两人中进入复赛的人数为ξ，求ξ的分布列及期望．

为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行动物与人体试验．研究人员将疫苗注射到200只小白鼠体内，一段时间后测量小白鼠的某项指标值，按[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]分组，绘制频率分布直方图如图所示．试验发现小白鼠体内产生抗体的共有160只，其中该项指标值不小于60的有110只．
假设小白鼠注射疫苗后是否产生抗体相互独立．
（1）填写下面的2×2列联表，并根据列联表及α=0.05的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关．单位：只

抗体	指标值		合计
	小于60	不小于60
有抗体
没有抗体
合计

（2）为检验疫苗二次接种的免疫抗体性，对第一次注射疫苗后没有产生抗体的40只小白鼠进行第二次注射疫苗，结果又有20只小白鼠产生抗体．
（ⅰ）用频率估计概率，求一只小白鼠注射2次疫苗后产生抗体的概率p；
（ⅱ）以（ⅰ）中确定的概率p作为人体注射2次疫苗后产生抗体的概率．进行人体接种试验，记n个人注射2次疫苗后产生抗体的数量为随机变量X．试验后统计数据显示．当X=99时，P（X）取最大值，求参加人体接种试验的人数n及E（X）．
参考公式：χ2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

（其中n=a+b+c+d为样本容量）．

α	0.50	0.40	0.25	0.15	0.100	0.050	0.025
xα	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024

已知四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，AD∥BC，
AB⊥BC，PA=PB=

2

2

AB，AB=BC=2AD，E为AB的中点，F为棱PC上异于P，C的点．
（1）证明：BD⊥EF；
（2）试确定点F的位置，使EF与平面PCD所成角的正弦值为

3 14

14

．

某地有一家知名蛋糕房根据以往某种蛋糕在100天里的销售记录，绘制了以下频数分布表：

日销售量（单位：个）	[0，50）	[50，100）	[100，150）	[150，200）	[200，250）
频数	15	25	30	20	10

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率；
（2）用ξ表示在未来3天里日销售量不低于150个的天数，求随机变量ξ的概率分布、均值E（ξ）和方差D（ξ）．

在三棱锥S-ABC中，底面ABC是边长为4的正三角形，侧面SAC⊥底面ABC，SA=SC，SB=2

5

，点E在线段SB上，且

SE

EB

=

2

3

．
（1）证明：SB⊥平面ACE；
（2）求二面角A-SB-C的正弦值．

甲乙两位同学进行乒乓球单打比赛，约定：①每赢一球得1分；②采用两球换发制，即每比赛二球交换发球权．假设甲发球时甲得分的概率是

1

2

，乙发球时甲得分的概率是

2

5

，各球的结果相互独立．根据抽签结果决定，甲先发球．
（1）求比赛二球后甲得分的期望；
（2）求比赛六球后甲得分比乙得分多2分的概率．

某企业举行招聘考试，共有1000人参加，分为初试和复试，初试成绩总分100分，初试通过后参加复试．
（1）若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布N（μ，σ²），其中μ=65，σ=15，试估计初试成绩不低于80分的人数；（精确到个位数）
（2）复试共三道题，每答对一题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为

3

4

，后两题答对的概率均为

3

5

，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及期望．
附：若随机变量X服从正态分布N（μ，σ²），则：P（μ-σ＜X＜μ+σ）=0.6827，P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=0.9545，P（μ-3σ＜X＜μ+3σ）=0.9973．

如图1所示，在边长为3的正方形ABCD中，将△ADC沿AC折到△APC的位置，使得平面APC⊥平面ABC，得到图2所示的三棱锥P-ABC．点E，F，G分别在PA，PB，PC上，且AE=2EP，PF=2FB，PG=2GC．记平面EFG与平面ABC的交线为l.

（1）在图2中画出交线l,保留作图痕迹，并写出画法．
（2）求二面角A-FG-E的余弦值．

如图，四边形ABCD是圆柱OO₁的轴截面，EF是圆柱的母线，P是线段AD的中点，已知AB=4，BC=6．
（1）证明：平面EPF⊥平面BEF；
（2）若直线AB与平面EPF所成角为60°，求二面角F-PE-B的余弦值．

阳春三月，春暖花开，婺源县䇸岭景区迎来了旅游高峰，某特产超市为了解游客购买特产的情况，对2023年3月期间的100位游客购买情况进行统计，得到如表人数分布表：

购买金额（元）	[0，200）	[200，400）	[400，600）	[600，800）	[800，1000）	[1000，1200）
人数	15	20	25	20	10	10

（1）根据以上数据完成2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为购买金额是否少于600元与性别有关，

	不少于600元	少于600元	合计
男	25	_____	_____
女	_____	40	_____
合计	_____	_____	_____

（2）为吸引游客，该超市推出两种优惠方案：方案一：每满200元减40元．
方案二：购买金额不少于600元可抽奖3次，每次中奖概率为

1

3

，中奖1次减100元，中奖2次减150元，中奖3次减200元．若某游客计划购买600元的特产，依据优惠金额的期望的大小，此游客应选择方案一还是方案二？请说明理由．
附：参考公式和数据：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，n=a+b+c+d.
附表：

k0	2.072	2.706	3.841	6.635
P（K2≥k0）	0.150	0.100	0.050	0.010