如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美，充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作．该杯主体部分的轴截面可以近似看作双曲线E的一部分，设该双曲线E的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，右焦点为F，过点F的直线l与双曲线E的右支交于B，C两点，且|CF|=3|FB|，点B关于原点O的对称点为点A，若

AF

⋅

BF

=0，则双曲线E的离心率为 __________．

若eα+

π

6

-e-α-

π

6

+cos(

5π

3

+α)=t，eβ-

π

4

-e

π

4

-β+cos(

5π

4

+β)=-t，则sin（α+β）=__________．

已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，F₁、F₂分别为双曲线C的左、右焦点，A₁、A₂分别为双曲线C的左、右顶点，直线l过点F₁且与以A₁A₂为直径的圆相切于点M．若直线l与双曲线C的右支交于点A，且

F1M

=

1

3

MA

，则双曲线C的离心率等于 __________．

我们把由半椭圆E₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(x≥0)与半椭圆E₂：

y2

b2

+

x2

c2

=1(x≤0)合成的曲线称为“果圆”，其中a²=b²+c²，a＞b＞c＞0，如图．设A₁，A₂，B₁，B₂，是“果圆”与坐标轴的交点，C为半椭圆E₁上一点，F为半椭圆E₁的焦点．若|CA₁|+|CF|=4

3

，tan∠B1A1B2=-2

2

，则“果圆“的内接矩形面积的最大值为 __________．

已知点P在圆（x-3）²+（y-2）²=5上，点A（1，0），B（0，1），当∠PBA最小时，tan∠PBA=__________．

已知圆O：x²+y²=4，直线l：y=x+b,在区间[-5，5]上任取一个数b,则圆O与直线l有公共点的概率为 __________．

已知

|x|

3

+

|y|

2

=1上任取点P作圆x²+y²=1的两条切线，切点分别为A、B，过A、B的直线与x轴、y轴分别交于M、N两点，则△MON面积的最小值为 __________．

甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为α，乙获胜的概率为β，两人平局的概率为γ（α+β+γ=1，α＞0，β＞0，γ≥0），且每局比赛结果相互独立．
（1）若α=

2

5

，β=

2

5

，γ=

1

5

，求进行4局比赛后甲学员赢得比赛的概率；
（2）当γ=0时，
（i）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望E（X）的最大值；
（ii）若比赛不限制局数，写出“甲学员赢得比赛”的概率（用α，β表示），无需写出过程．

内蒙古自治区新高考改革自2022年起执行，在取消文理分科后实行“3+1+2”模式，即语数外为国家统考，所有考生必选，然后从物理、历史2科中任选1科，再从化学、生物、政治和地理中任选2科参加高考，选科前大家普遍认为，传统的“大文大理”（即“数理化”、“政史地”组合）还依然是主流，而且男生将依然是“大理”的主体，某校为了解学生对“大理”的选择是否与性别有关，从该校高一年级1000名学生（550名男生，450名女生），按男女生分层随机抽样抽取100人进行选科意向调查，经统计，选择“大理”人数比非“大理”人数多出20人．

	选择“大理”	选择非“大理”	合计
男生		15
女生
合计

（1）完成上面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为选择“大理”与性别有关．
（2）为了进一步了解学生进行选科的理由，随机选取了男生4名，女生2名进行访谈，再从中抽取2名代表详细交流，求至少抽到1名女生的概率．
附表及公式：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，n=a+b+c+d

P（K2≥K0）	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
K0	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

地球上生命体内都存在生物钟．研究表明，生物钟紊乱会导致肥胖、糖尿病、高血压、高血脂等严重体征状况，控制睡眠或苏醒倾向的生物钟基因，简称PER．PER分为PERI（导致早起倾向）和PERo（导致晚睡倾向）某研究小组为研究光照对动物的影响，对实验鼠进行了光照诱导与GRPE蛋白干预实验．以下是16只实验鼠在光照诱导与GRPE蛋白干预实验中，出现PERI突变的Sd指标：

实验鼠编号	1	2	3	4	5	6	7	8
Sd指标	9.95	9.99	9.96	9.96	10.01	9.92	9.98	10.04
实验鼠编号	9	10	11	12	13	14	15	16
Sd指标	10.26	9.91	10.13	10.02	9.22	10.04	10.05	9.95

长期试验发现，若实验鼠Sd指标超过10.00，则认定其体征状况严重．
（1）从实验鼠中随机选取3只，记X为体征状况严重的只数，求X的分布列和数学期望；
（2）若编号1～8的实验鼠为GRPE蛋白干预实验组，编号9～16的为非GRPE蛋白干预对照组，试依据小概率值α=0.1的独立性检验，分析GRPE蛋白干预是否与实验鼠体征状况有关？

α	0.1	0.05	0.01
xa	2.706	3.841	6.635

附：x2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

（其中n=a+b+c+d）．