某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x（单位：千万元）对年销售量y（单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用x_i与年销售量y_i（i=1，2…，10）的数据，得到散点图如图所示．
（1）利用散点图判断y=a+bx和y=c•x^d（其中c，d均为大于0的常数）哪一个更适合作为年销售量y和年研发费用x的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）；
（2）对数据作出如下处理，令u_i=lnx_i，v_i=lny_i，得到相关统计量的值如表：根据第（1）问的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程；

10 i=1 vi	10 i=1 ui	10 i=1 （ui- u ）（vi- v ）	10 i=1 （ui- u ）2
15	15	28.25	56.5

（3）已知企业年利润z（单位：千万元）与x，y的关系为z=18e-

3

4

y-

9

2

x（其中e≈2.71828），根据第（2）问的结果判断，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？
附：对于一组数据（u₁，v₁），（u₂，v₂），…，（u_n，v_n），其回归直线

̂

v

=

̂

α

+

̂

β

u的斜率和截距的最小二乘估计分别为

̂

β

=

n i=1 (ui- u )(vi- v )

n i=1 (ui- u )2

，

̂

α

=

v

-

̂

β

u

．

某大型商场为了了解某商品的销售单价x（单位：元/件）对日销售量y（单位：件）的影响，根据规模相当的5个连锁店以往的销售记录发现该产品的日销售量y与销售单价x具有线性相关关系，统计的相关数据如下

店面编号i	1	2	3	4	5
销售单价x	50	51	52	53	54
日销售量y	29	28	24	22	27

（Ⅰ）根据表中数据，建立y关于x的线性回归方程

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

（Ⅱ）若该产品每件进价为46元，试预测该产品日销售利润S的最大值及取最大值时相应的销售单价x的值．注：日销售利润=（销售单价一每件进价）×日销售量
附：对于一组数据（x_i，y_i），i=1，2，…，n，其回归直线

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

中斜率和截距的最小二乘法的估计公式：

̂

b

=

n i=1 xiyi-n xy

n i=1 x 2 i -n x 2

=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2

，a=

y

-b

x

．

足球是当今世界传播最广、参与人数最多的体育运动，其有广泛的社会影界各国民众喜爱．
（1）为调查大学生喜欢足球是否与性别有关，随机选取50名大学生进行问卷调查，当问卷评分不低于80分则认为喜欢足球，当评分低于80分则认为不喜欢足球，这50名大学生问卷评分的茎叶图如下：

依据上述数据制成如下列联表：

	喜欢足球人数	不喜欢足球人数	总计
女生	a	b	a+b
男生	c	d	c+d
总计	a+c	b+d	a+b+c+d

请问是否有90%的把握认为喜欢足球与性别有关？
参考公式及数据：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，n=a+b+c+d．

P（K2≥k0）	0.100	0.050	0.010	0.001
k0	2.706	3.841	6.635	10.828

（2）已知某国“糖果盒”足球场每年平均上座率y与该国成年男子国家足球队在国际足联的年度排名x线性相关，数据如表（6＜k＜9，3＜m＜6，k，m∈N^*）

年度排名x	9	k	6	m	3
平均上座率	0.9	0.91	0.92	0.93	0.95

求变量y与x的线性回归方程

̂

y

=

̂

b

x+a，并预测排名为1时该球场的上座率．
参考公式及数据：

̂

b

=

n i=1 xiyi-n xy

n i=1 x 2 i -n x 2

，

y

=

̂

b

x

+a；

5

i=1

x_iy_i=27.49．

《环境空气质量指标（AQI）技术规定（试行）》如表1所示．
表1：空气质量指标AQI分组表

AQI指数M	0-50	51-100	101-150	150-200	201-300	＞300
级别	Ⅰ	Ⅱ	Ⅲ	Ⅳ	Ⅴ	Ⅵ
状况	优	良	轻度污染	中度污染	重度污染	严重污染

表2：广元市一气象观测点观测某4天的记录：AQI指数M与当天的空气水平可见度y（km）的情况．

AQI指数M	300	250	150	100
空气水平可见度	7.5	8.5	10.5	13.5

表3：广元市一气象观测点记录的2018年9月每天AQI指数频数统计表．

AQI指数M	[0，50]	[51，100]	[101.150]	[151，200]	[201，300]
频数	3	9	9	6	3

（Ⅰ）设x=

M

50

，根据表2的数据，求出y关于x的回归方程；
（Ⅱ）若由（Ⅰ）回归方程得到的估计数据与实际数据误差的绝对值不超过0.5，则认为回归方程是理想的，当AQI指数M为200时，空气水平可见度为9.7km，判断该回归方程是否理想？
（Ⅲ）小王计划在此地开一家洗车店，经统计AQI指数不高于50时，洗车店平均每天亏损200元；AQI指数在51至150时，洗车店平均每天收入约500元；AQI指数大于150时，洗车店平均每天收入约700元．若将频率看成概率，求小王在连续三天里洗车店的总收入不低于1200元的概率．
（用最小二乘法求线性回归方程的系数的公式

̂

b

=

7 i=1 (xi- x )(zi- z )

7 i=1 (xi- x )2

，

̂

a

=

z

-

̂

b

x

）

已知某种细菌的适宜生长温度为10℃-25℃，为了研究该种细菌的繁殖数量y（单位：个）随温度x（单位：℃）变化的规律，收集数据如下：

温度x/℃	12	14	16	18	20	22	24
繁殖数量y/个	20	25	33	27	51	112	194

对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如表所示：

x	y	k	7 |n| (xi- x )2	7 |n| (ki- k )2	7 |n| (xi- x )(yi- y )	7 |n| (xi- x )(ki- k )
18	66	3.8	112	4.3	1428	20.5

其中k_i=lny_i，

k

=

1

7

7

|n|

ki
（Ⅰ）请绘出y关于x的散点图，并根据散点图判断y=bx+a与y=ce^dx哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量y关于温度x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（Ⅱ）根据（1）的判断结果及表格数据，建立y关于x的回归方程（结果精确到0.1）；
（Ⅲ）当温度为25℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为多少？
参考公式：对于一组数据（u_i，v_i）（i=1，2，3，…，n），其回归宜线v=βu+a的斜率和截距的最小二成估计分别为β=

n |n| (ui- u )(vi- v )

n |n| (ui- u )2

，a=

v

-β

u

，参考数据：e^5.5≈245．

房价收入比，是指住房价格与城市居民家庭年收入之比，幸福是人们对生活减意程度的一种主观感受，幸福指数是衡量人们这种感受具体程度的主观指标数．幸福指数由若指标综合而成．如图是10所城市的“房价收人比”和“幸福指数”．

排名	城市	房价收入比	幸福指数
1	杭州	2.80	93.69
2	济南	2.32	91.56
3	合肥	2.21	85.48
4	苏州	2.0	88.17
5	成都	1.78	88.92
6	兰州	1.42	89.8
7	哈尔滨	1.39	92.35
8	昆明	1.30	87.21
9	海口	1.27	91.63
10	重庆	1.23	89.37

（1）填写以下列联表，并计算有没有85%的把握认为幸福指数高（大于89）低与房价收入比
高（大于1.7）低有关；

	幸福指数89以上	幸福指效89及以下	合计
房价收人出1.7以上	__________	__________	__________
房价收入比1.7及以下	__________	__________	__________
合计	__________	__________	__________

（2）已知城市宜居指数y=

幸福指数

房价收入比

，x表示房价收入比的排名序号，建立y关于x的线性回归方程，并估算排名11的城市的宜居指数
参考公式和数据：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

，其中

̂

b

=

n i=1 xiyi-n x y

n i=1 x 2 i -n x 2

=

n i=1 (xi- x )-(yi- y )

n i=1 (xi- x )2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

，

x

y

≈300.96，

10

i=1

xiyi≈3411.66，

10

i=1

xi2=385≈54.72

某医科大学实习小组为研究实习地昼夜温差与患感冒人数之间的关系，分别到当地气象部门和某医院抄录了1月份至3月份每月5日.20日的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如表资料：

日期	1月5日	1月20日	2月5日	2月20日	3月5日	3月20日
昼夜温差x（℃）	10	11	13	12	8	6
就诊人数y（人）	22	25	29	26	16	12

该小组确定的研究方案是：先从这六组数据中随机选取4组数据求线性回归方程，再用剩余的2组数据进行检验
（1）求剩余的2组数据中至少有一组是20日的概率；
（2）若选取的是1月20日，2月5日，2月20日，3月5日四组数据．
①请根据这四组数据，求出y关于x的线性回归方程

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

（

̂

a

，

̂

b

用分数表示）；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与剩余的检验数据的误差均不超过1人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问1中所得线性回归方程是否理想？
附参考公式：：

̂

b

=

n i=1 xiyi-n xy

n i=1 x 2 i -n x 2

=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2

，

̂

a

=

y

-b

x

基于移动互联技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，带给人们新的出行体验，某共享单车运营公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，设月份代码为x，市场占有率为y（%），得结果如表

年月	2018.10	2018.11	2018.12	2019.1	2019.2	2019.3
x	1	2	3	4	5	6
y	11	13	16	15	20	21

（1）观察数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明（精确到0.001）：
（2）求y关于x的线性回归方程，并预测该公司2019年4月份的市场占有率；
（3）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，现有采购成本分别为1000元/辆和800元/辆的甲，乙两款车型报年限各不相同．考虑到公司的经济效益，该公司决定先对两款单车各100辆行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命表如下

车型 报废年限	1年	2年	3年	4年	总计
甲款	10	30	40	20	100
乙款	15	40	35	10	100

经测算，平均每辆单车每年可以为公司带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且用频率估计每单车使用寿命的概率，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据．如果你是该公司的负责人，你会选择采购哪款车型？
参考数据

n

i=1

（x_i-

x

）²=17.5，

n

i=1

（y_i-

y

）²=76，

n

i=1

（x_i-

x

）（y_i-

y

）=35，

1330

≈36.5
参考公式：相关系数r=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2 n i=1 (yi- y )2

回归方程

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为

̂

b

=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

在国家积极推动美丽乡村建设的政策背景下，各地根据当地生态资源打造了众多特色纷呈的乡村旅游胜地．某人意图将自己位于乡村旅游胜地的房子改造成民宿用于出租，在旅游淡季随机选取100天，对当地已有的六间不同价位的民宿进行跟踪，统计其出租率y（

100天中出租的天数

100

），设民宿租金为x（单位：元/日），得到如下数据散点图．

（1）若用“出租率”近似估计旅游淡季民宿每天租出去的概率，求租金为388元的那间民宿在淡季内的三天中至少有2天闲置的概率．
（2）①根据散点图判断，y=bx+a与y=clnx+d哪个更适合于此模型（给出判断即可，不必说明理由）？根据判断结果求回归方程；
②若该地一年中旅游淡季约为280天，在此期间无论民宿是否出租，每天都要付出9.9%x的固定成本，若民宿出租，则每天需要再付出10%x的日常支出成本．试用①中模型进行分析，旅游淡季民宿租金定为多少元时，该民宿在这280天的收益W达到最大？

̂

β

=

n i=1 (ui- u )•(vi- v )

n i=1 (ui- u )2

；

̂

a

=

v

-

̂

β

u

记z_i=lnx_i，

x

≈261.3，

y

=0.47，

z

=5.4，

n

i=1

（x_i-

x

）•（y_i-

y

）≈-221，

n

i=1

（x_i-

x

）²≈121333.3，

n

i=1

（z_i-

z

）•（y_i-

y

）≈-0.99，

n

i=1

（z_i-

z

）²≈2.2，e⁵≈148，e^5.1≈164，e^5.2≈181．

李克强总理在2018年政府工作报告指出，要加快建设创新型国家，把握世界新一轮科技革命和产业变革大势，深入实施创新驱动发展战略，不断增强经济创新力和竞争力．某手机生产企业积极响应政府号召，大力研发新产品，争创世界名牌．为了对研发的一批最新款手机进行合理定价，将该款手机按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据（x_i，y_i）（i=1，2，…，6），如表所示：

单价x（千元）	3	4	5	6	7	8
销量y（百件）	70	65	62	59	56	t

已知

y

=

1

6

6

i=1

yi=60．
（1）若变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（百件）关于试销单价x（千元）的线性回归方程

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

；
（2）用（1）中所求的线性回归方程得到与x_i对应的产品销量的估计值

yi

．
（参考公式：线性回归方程中

̂

b

，

̂

a

的估计值分别为

̂

b

=

n i=1 xiyi-n x y

n i=1 xi2-n x 2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

）