已知函数f(x)=lnx-

a

x+1

．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）存在两个极值点x₁，x₂，且kef(x1)+f(x2)-4+ln

k

x1+x2-2

≥0恒成立，求实数k的最小值．

已知函数f（x）=3x⁴-4mx³+6mx²-12m²x+1（x≥0），其中m＞0．
（1）当m=1时，求f（x）的单调区间；
（2）若对任意x∈[0，

m

]，都有f（x）≤1，求实数m的取值范围．

已知k∈R，a＞0，设函数f（x）=e^x-a-

k

a

x2，其中e为自然对数的底，e≈2.71828…．
（1）当a=1，k=

1

2

时，证明：函数f（x）在R上单调递增；
（2）若对任意正实数a,函数f（x）均有三个零点x₁，x₂，x₃，其中x₁＜x₂＜x₃．求实数k的取值范围，并证明x₂+x₃＞4．

已知椭圆C：

x2

a2

+y2=1(a＞1)的离心率为

3

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l：y=kx-2与椭圆C交于两个不同点D、E，以线段DE为直径的圆经过原点，求实数k的值；
（3）设A、B为椭圆C的左、右顶点，H为椭圆C上除A、B外任意一点，线段BH的垂直平分线分别交直线BH和直线AH于点P和点Q，分别过点P和Q作x轴的垂线，垂足分别为M和N，求证：线段MN的长为定值．

设函数f（x）=[ax²-（4a+1）x+4a+3]e^x．若f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值范围．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A₁，A₂，点(

2

，-

6

2

)在椭圆C上，过椭圆C的右焦点F作与x轴垂直的直线与椭圆相交于D，E两点，且四边形A₁DA₂E的面积为6．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点P为椭圆上异于A₁，A₂的一点，直线A₁P的斜率为k₁，直线A₂P的斜率为k₂，求证k₁k₂为定值；
（3）x轴上有一点P（m,0）（-2＜m＜2），直线l过点P且与椭圆C相交于M，N两点，若|PM|²+|PN|²的值与m的取值无关，求直线l的斜率．

已知函数f（x）=xe^x-ax（a∈R）．
（Ⅰ）当a=1时，求在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）若y=f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）判断当a≥0时，是否存在三个实数x₁＜x₂＜x₃，满足f（x₁）=f（x₂）=f（x₃），并说明理由．

已知函数f（x）=e^x（x²+1）．
（1）若g(x)=f(x)-x2ex-

1

2

x2-kx在R上是增函数，求实数k的取值范围；
（2）若x₂＞x₁＞0时，不等式e2x2-e2x1＞a|f(x1)-f(x2)|恒成立，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=6lnx-ax²-8x+b（a,b为常数），且x=3为f（x）的一个极值点．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间．

已知x=1是函数f（x）=x³-6x²+ax的一个极值点．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求f（x）在区间[-1，4]上的最小值．