如图，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E，F分别为AD，CC₁的中点．
（1）已知点G满足

DD1

=4

DG

，求证B，E，G，F四点共面；
（2）求平面BA₁C₁与平面BEF所成的锐二面角的余弦值．

2023年是全面贯彻落实党二十大精神的开局之年，也是实施“十四五”规划承上启下的关键之年，今年春季以来，各地出台了促进经济发展的各种措施，经济增长呈现稳中有进的可喜现象．服务业的消费越来越火爆，绍兴一些超市也纷纷加大了广告促销．现随机抽取7家超市，得到其广告支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）数据如下：

超市	A	B	C	D	E	F	G
广告支出	1	2	4	6	10	13	20
销售额	19	32	44	40	52	53	54

（1）建立y关于x的一元线性回归方程（系数精确到0.01）；
（2）若将超市的销售额y与广告支出x的比值称为该超市的广告效率值μ，当μ≥10时，称该超市的广告为“好广告”．从这7家超市中随机抽取4家超市，记这4家超市中“好广告”的超市数为X，求X的分布列与期望．
附注：参考数据

7

i=1

xiyi=2788，

7

i=1

x

2 i

=726，

7

i=1

y

2 i

=13350，回归方程

̂

y

=

̂

a

+

̂

b

x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

̂

b

=

n i=1 xiyi-n xy

n i=1 x 2 i -n x 2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

．

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，AB=2，点E，F分别为棱PB和PC上的点，且AE⊥PB，AF⊥PC．
（1）证明：EF⊥PC；
（2）若PA=4，求平面AEF与平面AEC夹角的余弦值．

如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，△PAC的边长为4的等边三角形，PB=4，BC=2

3

．
（1）求证：平面PAB⊥平面ABC；
（2）求二面角A-PB-C的余弦值．

如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABFE为菱形，AB=AD=2DC=2，DE=

6

，∠BAE=∠DAB=60°，DC∥AB．
（1）证明：BC⊥AF；
（2）若M为线段AD的中点，求二面角A-BF-M的余弦值．

已知体积为1的四面体ABCD，其四个面均为全等的等腰三角形．
（1）求四面体ABCD的外接球表面积的最小值；
（2）若AB=BD=2，△ABC的面积为

15

2

，设点P为线段AB（含端点）上一动点，求直线CP与面ABD所成角的正弦值的取值范围．

新高考改革后江苏省采用“3+1+2”高考模式，“3”指的是语文、数学、外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理、历史里选一门；“2”指考生要在生物学、化学、思想政治、地理4门中选择2门．
（1）若按照“3+1+2”模式选科，求甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数；
（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试、满分450分，假设该次网络测试成绩服从正态分布N（240，60²）．
①估计4000名学生中成绩介于180分到360分之间有多少人；
②某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有10名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语的可信度．
附：P（μ-σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ-3σ≤X≤μ+3σ）≈0.9973．

（1）解不等式：3

A

3 x

≤2

A

2 x+1

+6

A

2 x

；
（2）求值

C

5-n n

+

C

9-n n+1

；
（3）已知

1

C m 5

-

1

C m 6

=

7

10 C m 7

，求

C

m 8

．

已知(2x-1)2023=a0+a1x+a2x2+…+a2023x2023．
（1）求a₀；
（2）求a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₂₃；
（3）求a₁+2a₂+3a₃+…+2023a₂₀₂₃．

2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，新晋“太空教师”刘洋用2米长的吸管成功喝到了芒果汁．这是中国航天员首次在问天实验舱内进行授课，并通过网络向全国进行直播，这场直播极大地激发了广大中学生对航天知识的兴趣．为领悟航天精神，感受中国梦想，某校高一年级组织了一次“寻梦天宫”航天知识比赛，比赛规则：每组两个班级，每个班级各派出3名同学参加比赛，每一轮比赛中每个班级派出1名同学代表其所在班级答题，两个班级都全部答对或者都没有全部答对，则均记0分；一班级全部答对而另一班级没有全部答对，则全部答对的班级记1分，没有全部答对的班级记-1分，三轮比赛结束后，累计得分高的班级获胜．设甲、乙两个班级为一组参加比赛，每轮比赛中甲班全部答对的概率为

1

2

，乙班全部答对的概率为

2

3

，甲、乙两班答题相互独立，且每轮比赛互不影响．
（1）求甲班每轮比赛得-1分、0分、1分的概率；
（2）两轮比赛后甲班得分为X，求X的分布列和数学期望；
（3）求甲班没有获胜的概率．