91641 难度：4

已知函数f(x)=alnx+x+

2

x

+2a(a∈R)．
（1）证明函数f（x）有唯一极小值点；
（2）若0＜a＜

e

4

，求证：f(x)＜x+

ex+2

x

．

91642 难度：4

已知函数f(x)=ln(ax)-1+

1

x

．
（1）若函数f（x）的最小值为0，求实数a的值；
（2）证明：对任意的n∈N*，x∈（0，+∞），(x-1)ex-

1

n

≥ln

x

n

恒成立．

91643 难度：3

已知函数f（x）=x³-2x²+x.
（1）求函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）求函数y=f（x）在[-1，2]上的最值．

91644 难度：3

在△ABC中，顶点A的坐标为（3，3），∠C的平分线所在直线的方䅣为l₁：2x-y+1=0，且边AC上的中线所在直线的方程为l₂：5x+y-6=0．
（1）求点C的坐标；
（2）求边BC所在直线的一般式方程．

91645 难度：3

设函数f(x)=lnx+

1

2

x2-(m+2)x．
（1）若m=2，求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若函数在x=a和x=b处有两个极值点，其中a＜b,m∈R．
（i）求实数m的取值范围；
（ii）若

b

a

≥e（e为自然对数的底数），求f（b）-f（a）的最大值．

91646 难度：4

已知函数f(x)=

1

x

-lnx+1．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）证明，对∀x∈（0，+∞），均有f(x)＜

1+e-1

ln(x+1)

+2．

91647 难度：3

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)焦点为F₁（-2，0），F₂（2，0），且过点Q（-2，3），椭圆第一象限上的一点P到两焦点F₁，F₂的距离之差为2．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求△PF₁F₂外接圆的标准方程．

91648 难度：4

已知函数f（x）=lnx-a（x-1）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．

91649 难度：5

已知函数f（x）=a（x+lnx）（a＞0），g（x）=x²．
（1）当a=1时，方程f（x）=mx在区间[

1

e

，+∞)内有唯一实数解，求实数m的取值范围；
（2）对于区间[1，2]上的任意不相等的实数x₁、x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜|g（x₁）-g（x₂）|成立，求a的取值范围．

91650 难度：3

如图，在多面体ABC-A₁B₁C₁中，AA₁∥BB₁∥CC₁，AA₁⊥平面A₁B₁C₁，△A₁B₁C₁为等边三角形，A₁B₁=BB₁=2，AA₁=3，CC₁=1，点M是AC的中点．
（1）若点G是△A₁B₁C₁的重心，证明；点G在平面BB₁M内；
（2）求二面角B₁-BM-C₁的正弦值．