已知函数f（x）=ax（x-1）-lnx（a∈R）．
（1）当a=3时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数g（x）=f（x）+

1

2

x(2-ax)有两个不同的零点，求a的取值范围．

已知函数f（x）=ln（x+1）+ax（a∈R），g（x）=x³+sinx.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若a=0，证明：f（x）≤g（x）．

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，上顶点和右顶点分别是A、B，椭圆上有两个动点C、D，且CD∥AB，如图所示，已知A（0，2），且离心率e=

3

2

．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求四边形ABCD面积的最大值；并试探究直线AD与BC的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由．

已知圆C：（x-2）²+y²=1，动直线l过点P（1，2）．
（1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程；
（2）若直线l与圆C相交于不同的A，B两点，求弦AB的中点M的轨迹．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦点为F(

3

，0)，且点M(-

3

，

1

2

)在椭圆上．斜率为k的直线l交椭圆C于P，Q两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设O为坐标原点，当直线l的纵截距不为零时，试问是否存在实数k,使得|

PQ

|2+2

OP

•

OQ

为定值？若存在，求出此时△OPQ面积的最大值；若不存在，请说明理由．

已知函数f（x）=x²+aln（x+2）．
（1）当a=-6时，求y=f（x），x∈[0，4]的最大值和最小值．
（2）若f（x）有两个不同的极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂，求实数a的取值范围．

已知函数f（x）=lnx+x²-ax,（a∈R）．
（1）若对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）≤x²恒成立，求实数a的取值范围；
（2）设f（x）存在两个极值点x₁，x₂且x₁＜x₂．若0＜x1＜

1

2

，证明：f(x1)-f(x2)＞

3

4

-ln2．

已知函数f（x）=5lnx+

3

2

x²-2（a+3）x,（a∈R），a是f（x）的极大值点．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的极值．

已知椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

3

=1(a＞

3

)的离心率为

2

2

，点M（m,n）在Γ上，从原点O向圆M：（x-m）²+（y-n）²=2作两条切线，分别交椭圆于点P，Q．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）若直线OP，OQ的斜率记为k₁，k₂（k₁•k₂≠0），求k₁•k₂的值；
（3）若m＜0，n＞0，直线l：mx+2ny=0与Γ在第一象限的交点为N，点R在线段ON上，且|MR|=

6

，试问直线MR是否过定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由．

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，焦点到渐近线2x-y=0的距离为2．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，直线l交双曲线C于点M，N（点M在第一象限），记直线MA斜率为k₁，直线NB斜率为k₂，过原点O作直线l的垂线，垂足为H，当

k1

k2

为定值-

1

3

时，问是否存在定点G，使得|GH|为定值，若存在，求此定点G．若不存在，请说明理由．