某学校研究性学习小组在学习生物遗传学的过程中，为验证高尔顿提出的关于儿子成年后身高y（单位：cm）与父亲身高x（单位：cm）之间的关系及存在的遗传规律，随机抽取了5对父子的身高数据，如表：

父亲身高x	160	170	175	185	190
儿子身高y	170	174	175	180	186

（1）根据表中数据，求出y关于x的线性回归方程，并利用回归直线方程分别确定儿子比父亲高和儿子比父亲矮的条件，由此可得到怎样的遗传规律？
（2）记

̂

e

i=yi-

̂

y

i=yi-

̂

b

xi-

̂

a

，(i=1，2，⋯，n)，其中y_i为观测值，

̂

y

i为预测值，

̂

e

i为对应（x_i，y_i）的残差．求（1）中儿子身高的残差的和、并探究这个结果是否对任意具有线性相关关系的两个变量都成立？若成立加以证明；若不成立说明理由．
参考数据及公式：

5

i=1

xi=880，

5

i=1

x

2 i

=155450，

5

i=1

yi=885，

5

i=1

xiyi=156045

̂

b

=

n i=1 (xi- x )(yi- y )

n i=1 (xi- x )2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

．

为更好保障消费者的食品安全，某蛋糕总店开发了A、B两种不同口味的生态戚风蛋糕，制作主料均为生态有机原料．已知A蛋糕的成本为60元/个，B蛋糕的成本为61元/个，两种蛋糕的售价均为68元/个，两种蛋糕的保质期均为一天，一旦过了保质期，则销毁处理．为更好了解市场的需求情况，A、B两种蛋糕分别在甲、乙两个分店同时进行了为期一个月（30天）的试销，假设两种蛋糕的日销量相互独立，统计得到如下统计表．

A蛋糕的销售量（个）	37	38	39	40
天数	6	6	10	8
B蛋糕的销售量（个）	37	38	39	40
天数	4	9	12	5

（1）以销售频率为概率，求这两种蛋糕的日销量之和不低于78个的概率；
（2）若每日生产A、B两种蛋糕各n个，根据以上数据计算，试问当n=38与n=39时，哪种情况下两种蛋糕的获利之和最大？

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC是边长为2的等边三角形，且A₁B⊥AB，平面ABC⊥平面A₁BC，三棱锥C₁-A₁AB的体积为

3

．
（1）求证：A₁B⊥AC；
（2）求直线AB与平面AA₁C₁C所成角的正弦值．

如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=3，点E在棱PD上，且2PE=ED，点F是棱PC上的动点（不含端点）．
（1）若F是棱PC的中点，求∠EAF的余弦值；
（2）求PA与平面AEF所成角的正弦值的最大值．

已知甲盒中装有大小质地完全相同的3个白球、2个红球，乙盒中装有大小质地完全相同的4个白球、1个红球．
（1）从甲、乙两盒中各任取两个球，记取出的球中红球的个数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；
（2）先从甲盒中任取两个球放入乙盒，再从乙盒中任取两个球，求从乙盒中取出两个白球的概率．

据世界田联官方网站消息，原定于2023年5月13、14日在中国广州举办的世界田联接力赛延期至2025年4月至5月举行．据了解，甲、乙、丙三支队伍将会参加2025年4月至5月在广州举行的4×400米接力的角逐．接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛．已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为

2

3

和

3

4

；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为

3

4

和

4

5

；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为

2

3

和

5

6

．
（1）甲、乙、丙三队中，谁进入决赛的可能性最大；
（2）设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为ξ，求ξ的分布列．

某公司年末给职工发奖金，采用趣味抽奖的方式，在一个纸箱里放10个小球：其中2个红球、3个黄球和5个绿球，每个职工不放回地从中拿3次，每次拿1个球，每拿到一个红球得奖金1千元，每拿到一个黄球得奖金800元，每拿到一个绿球得奖金500元．
（1）求已知某职工在三次中只有一次抽到黄球的条件下，至多有1次抽到红球的概率；
（2）设拿到红球的次数为X，求X的分布列并计算拿到的三个球中，红球个数比黄球个数多的概率．

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，AB=BC=2，CC₁=3，点D，E分别在棱AA₁，CC₁上，且AD=C₁E=1，过点A₁的平面α∥平面BDE，平面α∩B₁C₁=F．
（1）求A₁F；
（2）求直线BF与平面BDE所成角的正弦值．

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=AA₁=4，AB=5，点D为AB的中点．
（Ⅰ）求证BC₁⊥平面ACB₁；
（Ⅱ）求二面角A₁-CD-B₁的余弦值．

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=

2

，AB=1，E，F分别为A₁C，BB₁的中点，且EF⊥平面AA₁C₁C．
（1）求棱BC的长度；
（2）若BB₁⊥A₁B₁，且△A₁FC的面积SΔA1FC=

2

2

，求二面角B₁-A₁F-C的正弦值．