91351 难度：3

已知函数f（x）=（x-a）lnx-1（a＞0）．
（1）若曲线y=f（x）在x=a处的切线方程为（a-1）x-y+b=0，求实数a,b的值；
（2）若a=2，关于x的方程f（x）=mx有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．

91352 难度：3

平面内动点M与定点F（0，1）的距离和它到定直线y=4的距离之比是1：2．
（1）求点M的轨迹E的方程；
（2）过点F作两条互相垂直的直线l₁，l₂分别交轨迹E于点A，C和B，D，求四边形ABCD面积S的最小值．

91353 难度：3

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦距为2

3

，左、右顶点分别为A₁，A₂，上顶点为B，且tan∠A₁BO=2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过A₂且斜率为k的直线l与椭圆C在第一象限相交于点Q，与直线A₁B相交于点P，与y轴相交于点M，且|PA₂||MQ|=3|QA₂||MP|．求k的值．

91354 难度：4

已知函数f(x)=ex-

1

2

ax2+a(a∈R)．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在x=0处的切线方程；
（2）若f（x）有两个不同的极值点x₁，x₂，且x₂≥ex₁，求a的取值范围．

91355 难度：4

已知函数f(x)=

lnx+a

x

．
（1）若f'（1）=0，求a的值；
（2）当a＞0时，证明：f(x)≤

e2x

2ax

+

a+lna-2

x

．

91356 难度：4

已知函数f（x）=e^ax（lnx+b），其中a,b∈R．
（1）若∀b∈R，f（x）有且仅有一个极值点，求实数a的取值范围；
（2）是否存在a,b∈R，x₀＞0，使得x₀是f（x）的极值点，且满足f（x₀）∈[-e,0]，若存在，求出所有这样的a,b；若不存在，请说明理由．

91357 难度：4

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦点为F（2，0），过点F的直线l与双曲线C交于A，B两点．当l⊥x轴时，|AB|=

2 3

3

．
（1）若A点坐标为（x₁，y₁），B点坐标为（x₂，y₂），证明：x₁y₂-x₂y₁=2（y₂-y₁）．
（2）在x轴上是否存在定点M，使得|AM|²+|BM|²-|AB|²为定值？若存在，求出定点M的坐标及这个定值；若不存在，请说明理由．

91358 难度：4

已知函数f（x）=a（x²-1）-lnx（x＞0）．
（1）若a=

1

2

时，求函数f（x）的极值；
（2）若0＜a＜

1

2

，设函数f（x）的较大的一个零点记为x₀，求证：f′（x₀）＜1-2a.

91359 难度：4

已知函数f(x)=-

1

x

-kx+alnx(x＞0，a＞0)，f′(x)为f（x）的导函数．
（1）当a=1，k=2时，求函数f（x）的极值；
（2）已知x₁，x₂∈（0，+∞）（x₁≠x₂），若存在k∈R，使得f（x₁）=f（x₂）成立，求证：f′（x₁）+f′（x₂）＞0．

91360 难度：4

过点（4，2）的动直线l与双曲线E：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)交于M，N两点，当l与x轴平行时，|MN|=4

2

，当l与y轴平行时，|MN|=4

3

．
（1）求双曲线E的标准方程；
（2）点P是直线y=x+1上一定点，设直线PM，PN的斜率分别为k₁，k₂，若k₁k₂为定值，求点P的坐标．