为改善学生的就餐环境，提升学生的就餐质量，保证学生的营养摄入，某校每学期都会对全校3000名学生进行食堂满意度测试．已知该校的男女比例为1：2，本学期测试评价结果的等高条形图如下：

	男	女	合计
满意
不满意
合计			3000

（1）填写上面的列联表，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为学生对学校食堂的“满意度”情况与性别有关；
（2）按性别用分层抽样的方法从测试评价不满意的学生中抽取5人，再从这5人中随机选出3人交流食堂的问题，求选出的3人中恰好没有男生的概率．
附：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，n=a+b+c+d.

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.010	0.001
k0	2.706	3.841	6.635	10.828

某医疗用品生产商用新旧两台设备生产防护口罩，产品成箱包装，每箱500个．
（1）若从新旧两台设备生产的产品中分别随机抽取100箱作为样本，其中新设备生产的100箱样本中有10箱存在不合格品，旧设备生产的100箱样本中有25箱存在不合格品，由样本数据，填写完成2×2列联表，并依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为“有不合格品”与“设备“有关联？
单位：箱

是否有不合格品设备	无不合格品	有不合格品	合计
新	_____	_____	_____
旧	____	_____	_____
合计	_____	_____	_____

（2）若每箱口罩在出厂前都要做检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱口罩中任取20个做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有口罩做检验．设每个口罩为不合格品的概率都为p（0＜p＜1），且各口罩是否为不合格品相互独立．记20个口罩中恰有3件不合格品的概率为f（p），求f（p）最大时p的值p₀．
（3）现对一箱产品检验了20个，结果恰有3个不合格品，以（2）中确定的p₀作为p的值．已知每个口罩的检验费用为0.2元，若有不合格品进入用户手中，则生产商要为每个不合格品支付5元的赔偿费用．以检验费用与赔偿费用之和的期望为决策依据，是否要对这箱产品余下的480个口罩做检验？
附表：

α	0.100	0.05	0.01	0.005	0.001
xα	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

附：χ2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d.

如图6，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=4，D是AC中点，∠AA₁B₁=∠B₁BC．
（1）证明：AA₁⊥AC；
（2）若BB₁⊥AB，∠ABC=60°，且三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为12

3

，求二面角B-B₁D-C₁的余弦值．

某公司为活跃气氛提升士气，年终拟通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行奖励．规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2个阄，阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额．
（1）若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200元，求
①员工所获得的奖励为1000元的概率；
②员工所获得的奖励额的分布列及数学期望；
（2）公司对奖励额的预算是人均1000元，并规定袋中的4个阄只能由标有面值200元和800元的两种阄或标有面值400元和600元的两种阄组成．为了使员工得到的奖励总额尽可能符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请对袋中的4个阄的面值给出一个合适的设计，并说明理由．

如图，多面体ABCDEP中，ABCD是平行四边形，AB⊥平面PADE，DE⊥AD，PA⊥AD，AB=DE=1，AD=PA=2，点F在棱PA上．
（1）求证：BF∥平面CDE；
（2）求二面角C-PE-A的余弦值；
（3）若点F到平面PCE的距离为

1

3

，求线段AF的长．

为培养学生在高中阶段的数学能力，某校将举行数学建模竞赛．已知该竞赛共有60名学生参加，他们成绩的频率分布直方图如图所示．
（1）估计这60名参赛学生成绩的中位数；
（2）为了对数据进行分析，将60分以下（含60分）的成绩定为不合格.60分以上的成绩定为合格，某评估专家决定利用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人，然后从这10人中抽取4人参加座谈会，记ξ为抽取的4人中，成绩不合格的人数，求ξ的分布列与数学期望；
（3）已知这60名学生的数学建模竞赛成绩Z服从正态分布N（μ，σ²），其中μ可用样本平均数近似代替，σ²可用样本方差近似代替（同一组数据用该区间的中点值作代表），若成绩在46分以上的学生均能得到奖励，本次数学建模竞赛满分为100分，估计此次竞赛受到奖励的人数（结果根据四舍五入保留整数）．
参考数据：P（μ-σ＜Z≤μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σ＜Z≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ-3σ＜Z≤μ+3σ）≈0.9973．

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，BD=DC=2AB=2，BD⊥CD，△PBD是等边三角形且与底面垂直，E是棱PA上一点，

AE

=λ

EP

．
（1）当PC∥平面EBD，求实数λ的值；
（2）当λ为何值时，平面EBD与平面PBD所成的锐二面角的大小为

π

6

？

为了研究学生每天整理数学错题情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图．若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”．已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占70%．

	数学成绩优秀	数学成绩不优秀	合计
经常整理
不经常整理
合计

（1）求图1中m的值以及学生期中考试数学成绩的上四分位数；
（2）根据图1、图2中的数据，补全上方2×2列联表，并根据小概率值α=0.05的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关？
（3）用频率估计概率，在全市中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”进行分层抽样，随机抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2人进行座谈．求这2名同学中经常整理错题且数学成绩优秀的人数X的分布列和数学期望．
附：χ2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

．

α	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
xα	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

在(

1

x2

+2x)n的二项展开式中，
（1）若n=7，且第3项与第6项相等，求实数x的值；
（2）若第5项系数是第3项系数的10倍，求n的值．

一个口袋内有5个不同的红球，4个不同的白球．
（1）若将口袋内的球全部取出后排成一排，求白球互不相邻的排法种数；
（2）已知取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若从口袋内任取5个球，总分不少于8分，求不同的取法种数．