91131 难度：4

已知定点M（-2，0），N（-1，0），P（2，0），及动点Q（0，t）（t≠0），点R是直线MQ上的动点，且PR⊥NQ．
（1）求点R的轨迹C的方程；
（2）过点D（1，0）的直线与曲线C交于点A，B，试探究：△MAB的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由

91132 难度：4

设函数f（x）=e^x（ae^x+1-x）+a（a∈R）．
（1）当a=

1

2

时，求g（x）=f'（x）e^-x的单调区间；
（2）若f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），求a的取值范围．

91133 难度：4

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＜0)的离心率为2，且双曲线C经过点P(

6

2

，-

6

2

)．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设M是直线x=

1

2

上任意一点，过点M作双曲线C的两条切线l₁，l₂，切点分别为A，B，试判断直线AB是否过定点．若经过定点，求出该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．

91134 难度：4

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率为

2 3

3

，左、右焦点分别为F₁，F₂，点P坐标为（3，1），且

PF1

•

PF2

=6．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P的动直线l与C的左、右两支分别交于两点A，B，若点M在线段AB上，满足

|AP|

|AM|

=

|BP|

|BM|

，证明：M在定直线上．

91135 难度：4

已知函数f（x）=e^x-asinx+bx（a＞0）．
（1）当b=0时，函数f（x）在(0，

π

2

)上有极小值，求实数a的取值范围；
（2）当b＜0时，设x₀是函数f（x）的极值点，证明：f(x0)≥bln(-

b

2

)-

2

a．（其中e≈2.71828是自然对数的底数）

91136 难度：4

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞ 0，b＞ 0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，且|F₁F₂|=4，P(3，

2

)是C上一点．
（1）求C的方程；
（2）不垂直于坐标轴的直线l交C于M，N两点，交x轴于点A，线段MN的垂直平分线交x轴于点D，若|AM|•|AN|=2|AD|，证明：直线l过四个定点（-3，0），（-1，0），（1，0），（3，0）中的一个．

91137 难度：4

已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上一点M（m,1）到焦点的距离为2．
（1）求抛物线方程；
（2）圆E：x²+（y+1）²=1，过抛物线上一点P（x₀，y₀）（x₀≥2）作圆E的两条切线与x轴交于M、N两点，求S_△PMN的最小值．

91138 难度：4

已知函数f（x）=e^x，g（x）=ln（x+a）（a∈R）．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）设φ（x）=f（x）g（x），请判断φ（x）是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由；
（3）当a=0时，若对于任意s＞t＞0，不等式g(s)-g(t)＞k(

1

f(s)

-

1

f(t)

)恒成立，求k的取值范围．

91139 难度：4

已知点M为双曲线C：

x2

a2

-

y2

a2+2

=1(a＞0)右支上除右顶点外的任意点，C的一条渐近线与直线x+

3

y-2=0互相垂直．
（1）证明：点M到C的两条渐近线的距离之积为定值；
（2）已知C的左顶点A和右焦点F，直线AM与直线l：x=

1

2

相交于点N．试问是否存在常数λ，使得∠AFM=λ∠AFN？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．

91140 难度：3

若曲线y=lnx在点P（x₁，y₁）处的切线与曲线y=e^x相切于点Q（x₂，y₂），则

2

x1-1

+x2=__________．