91121 难度：3

已知函数f（x）=（x²-3x+1）e^x．
（1）求f（x）的极大值点和极小值点；
（2）求f（x）在区间[-1，3]上的最大值和最小值．

91122 难度：3

已知函数f（x）=x³+x²-x+1．
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求f（x）的单调区间．

91123 难度：4

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的实轴长为4

2

，离心率为

6

2

．动点P是双曲线C上任意一点．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）已知点A（3，0），求线段AP的中点Q的轨迹方程；
（3）已知点A（3，0），求|AP|的最小值．

91124 难度：4

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上任意一点P（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为

1

3

，E在双曲线C上，F为双曲线C的右焦点，|EF|的最小值为2-

3

．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）设O为坐标原点，直线l为双曲线C的切线，过F作l的垂线，垂足为A，求证：A在定圆上．

91125 难度：3

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点A（2，1），离心率为

3

2

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设点A关于y轴的对称点为B，直线l与OA平行，且与椭圆C相交于M，N两点，直线AM，AN分别与y轴交于P，Q两点．求证：四边形APBQ为菱形．

91126 难度：3

已知椭圆C：

x2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率是

3

2

，P（2，0）是椭圆C上一点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点（6，0）的直线l与椭圆C交于A，B（异于点P）两点，直线PA，PB的斜率分别是k₁，k₂，试问k₁k₂是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

91127 难度：3

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一个焦点为F（-1，0），且点F到C的左、右顶点的距离之积为5．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F作斜率乘积为-1的两条直线l₁，l₂，l₁与C交于A，B两点，l₂与C交于D，E两点，线段AB，DE的中点分别为M，N．证明：直线MN与x轴交于定点，并求出定点坐标．

91128 难度：3

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，若直线l与双曲线C交于A，B两点，线段AB的中点为M，且kAB⋅kOM=

3

4

（O为坐标原点）．
（1）求双曲线C的离心率；
（2）若直线l不经过双曲线C的右顶点N（2，0），且以AB为直径的圆经过点N，证明直线l恒过定点E，并求出点E的坐标．

91129 难度：3

已知函数f(x)=lnx-

a

x

，a∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当-

1

4

＜a＜0时，函数f（x）有两个不同的零点x₁，x₂（x₁＜x₂），求证：

1+4a

＜x2-x1＜1+a．

91130 难度：3

已知双曲线E：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，|F₁F₂|=2

3

且双曲线E经过点A(

3

，2)．
（1）求双曲线E的方程；
（2）过点P（2，1）作动直线l,与双曲线的左、右支分别交于点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足

|PM|

|PN|

=

|MH|

|HN|

，求证：点H恒在一条定直线上．