已知f（x）=ln（x+1）-x.
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当x＞0时，

kx2

ex-1

-x≤f(x)恒成立，求k的最大值．

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的离心率为2，且双曲线C经过点P(

6

2

，-

6

2

)．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设M是直线x=

1

2

上任意一点，过点M作双曲线C的两条切线l₁，l₂，切点分别为A，B，试判断直线AB是否过定点．若经过定点，求出该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．

设函数f（x）=ae^x-x²+1．（其中e=2.71828…为自然对数的底数）
（1）若a=1，求f（x）在x=0处的切线方程；
（2）证明：∀a≥1，当x＞0时，f（x）≥aex-2x+2．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的上顶点为A，右顶点为B，坐标原点O到直线AB的距离为

2 10

5

，△AOB的面积为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点P（2，0）且不过点Q（3，1）的直线l与椭圆C交于M，N两点，直线MQ与直线x=4交于点E，证明：PQ∥NE．

已知双曲线：x²-y²=1，点M为双曲线C右支上一点，A、B为双曲线C的左、右顶点，直线AM与y轴交于点D，点Q在x轴正半轴上，点E在y轴上．
（1）若点M（2，

3

），Q（2，0），过点Q作BM的垂线l交该双曲线C于S，T两点，求△OST的面积；
（2）若点M不与B重合，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①

OD

=

DE

；②BM⊥EQ；③|OQ|=2．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的短轴长为2

3

，且点(1，-

3

2

)在椭圆上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）椭圆C的左、右顶点分别为A、B，点P、Q是椭圆C上异于A、B的不同两点，直线BP的斜率为k（k≠0），直线AQ的斜率为2k,求证：直线PQ过定点．

P是双曲线

x2

4

-

y2

12

=1右支上一点，A，B是双曲线的左右顶点，过A，B分别作直线PA，PB的垂线AQ，BQ，AQ与BQ的交点为Q，PA与BQ的交点为C．
（1）记P，Q的纵坐标分别为y_P，y_Q，求

yP

yQ

的值；
（2）记△PBC，△QAC的面积分别为S₁，S₂，当

1

2

≤tan∠AQB≤

15

5

时，求

S1

S2

的取值范围．

在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（1，0）的距离比到y轴的距离大l,记点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点F且斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆E：

x2

4

+

y2

3

=1于A，B两点，交曲线C于M、N两点，若

λ

|AB|

+

μ

|M|N

为定值，则实数λ，μ应满足什么关系？

已知函数f(x)=ln(x+1)+

x+1

-1．
（1）若f（x）≤ax,求a；
（2）证明：0＜x＜1，(1+

4

x

)f(x)＜ 6．

已知函数f（x）=xe^x-（1-a）x.
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）设函数g（x）=x+1+lnx,若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．