90931 难度：3

已知函数f（x）=lnx+

a

x

-ax,函数g（x）=

ln2x

x

+

ae-x

2x2

-2aex+1．
（1）当a＞0时，求f（x）的单调区间；
（2）已知a≥

1

2

，e^x＞

1

2x

，求证：g（x）＜0；
（3）已知n为正整数，求证：

1

n

+

1

n+1

+

1

n+2

+⋅⋅⋅+

1

2n-1

+

1

2n

＞ln2．

90932 难度：3

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，过点F₁且斜率为k的直线l与椭圆E交于A，B两点．当A为椭圆E的上顶点时，

AF1

=7

F1B

．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）当k=

1

2

时，试判断以AB为直径的圆是否经过点F₂，并说明理由．

90933 难度：3

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦点为F₁，F₂，|F₁F₂|=2

3

，P为椭圆C上异于长轴端点的一个动点，O为坐标原点，直线PF₁，PO，PF₂分别与椭圆C交于另外三点M，Q，N，当P为椭圆上顶点时，有

PF1

=2

F1M

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求

S△POF1

S△PQM

+

S△POF2

S△PQN

的最大值．

90934 难度：3

已知函数f(x)=lnx+mx+

e

2x

(m＜0)．
（1）若曲线y=f（x）在（x₀，f（x₀））处的切线过点（0，1），求x₀的值；
（2）若f（x）在(0，

3

2

e)内有两个不同极值点x₁，x₂.证明：f(x1)+f(x2)+

1

me2

＞2-

2

e

．

90935 难度：3

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左顶点A（-2，0），点P，Q是椭圆C上关于原点对称的两个动点（点P，Q不与点A重合），△APQ面积的最大值是2．
（1）求椭圆C的方程．
（2）若直线AP，AQ与y轴分别相交于点D，E，是否存在定点R，总有

DR

⋅

ER

=0？若存在，求出定点R的坐标；若不存在，说明理由．

90936 难度：3

已知函数f（x）=e^x-ax+sinx-1．
（1）若函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）当1≤a＜2时，求函数g（x）=（x-2）f（x）零点的个数．

90937 难度：3

已知函数f（x）=mlnx+（x-1）²，m∈R．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设函数g（x）=f（x）-x²+e^x-1，若g（x）有三个不同的零点，求m的取值范围．

90938 难度：2

已知直线a,b,平面α，β，则下列说法错误的是（　　）

A．a∥b,b⊂α则a∥α

B．a∥α，b∥α，则a∥b

C．a,b异面，且a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α，则α∥β

D．a∥α，a∥β，则α∥β

90939 难度：3

在正四面体ABCD中，E、F、G、H分别是棱AB，BC，CD，AD的中点，则（　　）

A．HE∥平面BCD	B．AC⊥BD
C．AB⊥平面FGH	D．E、F、G、H四点共面

90940 难度：2

如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，G，H分别在线段DC，DA上，且满足DG=λDC，DH=μDA，λ，μ∈（0，1），则下列说法正确的是（　　）

A．当λ=μ= 1 2 时，四边形EFGH是矩形

B．当λ=μ= 2 3 时，四边形EFGH是梯形

C．当λ≠μ时，四边形EFGH是空间四边形

D．当λ≠μ时，直线EH，FG，BD相交于一点