90921 难度：5

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=

1

2

AD=1，CD=

3

．
（1）求证：平面MQB⊥平面PAD；
（2）若满足BM⊥PC，求异面直线AP与BM所成角的余弦值；
（3）若二面角M-BQ-C大小为30°，求QM的长．

90922 难度：2

已知函数f(x)=

1

3

x3+3xf′(a)（其中a∈R），且f(a)=

7

6

，求：
（1）f（x）的表达式；
（2）曲线y=f（x）在x=a处的切线方程．

90923 难度：3

已知函数f（x）=lnx-x.
（1）求曲线y=f（x）在x=e处的切线方程；
（2）求函数g（x）=f（x）+2x-4lnx-

2

x

的单调区间和极值；
（3）若不等式f（x）≤（a-1）x+1在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

90924 难度：3

若函数f（x）=ae^x+2-cosx（e为自然对数的底数，e≈2.718）在区间(-

π

2

，

π

2

)上单调递减，求实数a的取值范围．

90925 难度：3

已知函数f（x）=lnx+x²+ax.
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若xe^x+x²-1≥f（x），求a的取值范围．

90926 难度：3

已知函数f（x）=e^x-aln（x+2）．
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a=1时，求证：函数f（x）存在极小值点x₀，且f(x0)＞

1

6

．

90927 难度：3

在椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，c=2，过点（0，b）与（a,0）的直线的斜率为-

3

3

．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F为椭圆C的右焦点，P为直线x=3上任意一点，过F作PF的垂线交椭圆C于M，N两点，当

|MN|

|PF|

取最大值时，求直线MN的方程．

90928 难度：3

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦距为2

3

，离心率e=

6

2

．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设P，Q为双曲线C上异于点M(

2

a,b)的两动点，记直线MP，MQ的斜率分别为k₁，k₂，若k₁+k₂=2k₁k₂，求证：直线PQ过定点．

90929 难度：3

已知动点P到点F（3，0）的距离与到直线x=

5

3

的距离之比为

3 5

5

，设动点P的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）若直线l：y=mx+n（mn＞0）与曲线C交于A，B两点，且直线OA，OB（O为坐标原点）的斜率k₁，k₂满足

1

k1

+

1

k2

=

10

m

，证明：直线l过定点．

90930 难度：3

已知函数f(x)=(x-1)ex-

1

3

ax3(a＞ e,e是自然对数的底数）．
（1）讨论函数f（x）的极值点的个数；
（2）证明：函数f（x）在区间（0，+∞）内有且只有一个零点．